TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 17
sei die größte Anzahl von Teilen, in die die Ebene duch Geraden zerlegt werden kann.
Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Induktionsanfang (IA)
- Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) Induktionsbehauptung (IB)
Lösungsvorschlag von samuelp[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Induktionsanfang [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wenn keine Gerade verwendet wird, ist die Ebene ein Teil. Auch die Formel liefert .
Induktionsschritt [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Induktionshypothese: mit Geraden kann die Ebene in Teile zerschnitten werden
Induktionsbehauptung: mit Geraden kann die Ebene in Teile zerschnitten werden
Aufgrund der kann die Ebene in Teile zerschnitten werden. Wir legen eine neue Gerade sodass:
- die neue Gerade ist zu keiner der Geraden parallel
- die neue Gerade geht durch keine der bisherigen Schnittpunkte. Dadurch entstehen neue Schnittpunkte.
Die neuen Schnittpunkte zerschneiden Gebiete und es entstehen dadurch neue.
Dadurch ist gezeigt, dass die Formel von auch wahr ist.
Erklärungen der einzelnen Umformungen
- Herausheben von aus den Termen und zu