TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 178

Man beweise die Formel ${\binom {2n}{n}}=\sum _{k=0}^{n}{{\binom {n}{k}}^{2}}=\sum _{k=0}^{n}{{\binom {n}{k}}{\binom {n}{n-k}}}$
(Hinweis: Man betrachte die Koeffizienten von $(1+x)^{n}(1+x)^{n}=(1+x)^{2n}.)$)

Hilfreiches

Koeffizient:
Ein Koeffizient ((neu)lat. coefficiens/coëfficiens, eine Substantivierung des PPA von lat. coefficere „mitwirken“, gebildet von Franciscus Vieta), auch Beizahl oder Vorzahl genannt, ist eine zu einem anderen rechnerischen Ausdruck als Faktor hinzugefügte Zahl oder Variable. Der Koeffizient kann ein Parameter oder eine Kennzahl (Physik, Ökonomie) sein. In der Analysis tritt er in Monomen auf. In der Mathematik ist ein Koeffizient ein Faktor, der zu einem bestimmten Objekt wie einer Variablen oder einem Basisvektor gehört. Normalerweise werden Objekte und Koeffizienten in der gleichen Reihenfolge indiziert, sodass sich Ausdrücke wie $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+...$ ergeben, mit $a_{n}$ als den Koeffizienten der Variablen $x_{n}$ für jedes $n=1,2,3...$ (Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Koeffizient)

Binomischer Lehrsatz:
$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{(n-k)}y^{k}=(x+y)^{n}$

Rechenregel für Doppelsummen, welche ich verwendet habe:
$(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}})(\sum _{j=1}^{m}{y_{j}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}{x_{i}y_{j}}$

Eigenschaften von Binomialkoeffizienten:
${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}$

Lösungsvorschlag von neo

Erstmal habe ich die Formel, welche in dem Hinweis gegeben ist, laut binomischem Lehrsatz umgeformt.
$(1+x)^{n}(1+x)^{n}=(1+x)^{2n}\to \sum _{k=0}^{n}{{\binom {n}{k}}1^{n-k}x^{k}}*\sum _{k=0}^{n}{{\binom {n}{k}}1^{n-k}x^{k}}=\sum _{k=0}^{2n}{{\binom {2n}{k}}1^{2n-k}x^{k}}$
Anschließend habe ich die linke Seite zusammengefasst und die Doppelsummenregel verwendet, welche oben steht:
$\sum _{k=0}^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}1^{2(n-k)}x^{2k}$
Der Ausdruck n-k ist immer positiv. Und da $1^{x},x\in \mathbb {N}$ immer 1 ergibt, kann man den Ausdruck $1^{2(n-k)}$ weglassen.
$\sum _{k=0}^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}x^{2k}$
Im Hinweis wird explizit auf die Koeffizienten hingewiesen, daher habe ich auch den Wikipedia-Eintrag verwendet. In diesem Fall wäre der Koeffizient von x gleich 1 und da keine andere Zahl bei dieser Formel einen Sinn machen würde setze ich x=1 und außerdem verwende ich wieder die Doppelsummenregel um die Summen zu trennen.
$\sum _{k=0}^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}1^{2k}=\sum _{k=0}^{n}{{\binom {n}{k}}^{2}}*\sum _{k=0}^{n}1^{2k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}*1=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}=\sum _{k=0}^{n}{{\binom {n}{k}}{\binom {n}{n-k}}}$

Ich weiß nicht inwiefern der Schritt zur Gleichsetzung von x mit 1 korrekt war, jedoch denke ich, dass nicht umsonst auf die Koeffizienten aufmerksam gemacht wurde und daher erscheint dieser Schritt mmN einigermaßen logisch.