TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 202

Wie viele natürliche Zahlen n mit $1\le n\le 10^4$ gibt es, die durch 3, 5 und durch 7, aber weder durch 9 und 11 teilbar sind.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag von mnemetz

• $A$: Menge aller Zahlen, die durch $3$ und $5$ und $7$ gleichzeitig teilbar sind (entsprechend durch $3\cdot 5\cdot 7=105$ teilbar)
• $B$: Menge aller Zahlen, die durch $9$ teilbar sind
• $C$: Menge aller Zahlen, die durch $11$ teilbar sind

Wir wollen alle Elemente von $A$ aber ohne $B$ und $C$ haben:

$|A|-|A\cap B|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|$

$|A|=\frac{10000}{3\cdot 5\cdot 7}=95$

$|A\cap B|=\frac{10000}{kgV(3,9,5,7)}=\frac{10000}{9\cdot 5\cdot 7}=31$

$|A\cap C|=\frac{10000}{kgV(3,5,7,11)}=\frac{10000}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 11}=8$

$|A\cap B\cap C|=\frac{10000}{kgV(3,9,5,7,11)}=\frac{10000}{9\cdot 5\cdot 7\cdot 11}=2$

$\Rightarrow 95-31-8+2=58$