TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 22

Man zeige für alle $n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$: $\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k=a_n\sum _{k=1}^n{b}_k-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Hilfreiches

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Leere Summe $(\sum _{k=1}^0\mathrm{...})$ ist immer $0$

Lösungsvorschlag von samuelp

Induktionsanfang $n=1$

Linke Seite: $a_1\sum _{k=1}^1{b}_k=a_1{b}_1$

Rechte Seite: $a_1\sum _{k=1}^1{b}_k-\sum _{k=1}^0(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j=a_1{b}_1-0$

Induktionsschritt $n\to n+1$

Induktionshypothese: $\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k=a_n\sum _{k=1}^n{b}_k-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j$

Induktionsbehauptung: $\sum _{k=1}^{n+1}{a}_k{b}_k=a_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}{b}_k-\sum _{k=1}^n(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j$

Linke Seite:

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{n+1}{a}_k{b}_k& =\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k+a_{n+1}{b}_{n+1}\\ & \stackrel{I.H.}{=}{a}_n\sum _{k=1}^n{b}_k-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j+a_{n+1}{b}_{n+1}\\ & \stackrel{\pm X}{=}{a}_n\sum _{k=1}^n{b}_k-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j+a_{n+1}{b}_{n+1}+a_{n+1}\sum _{k=1}^n{b}_k-a_{n+1}\sum _{k=1}^n{b}_k\\ & \stackrel{1.}{=}{a}_{n+1}{b}_{n+1}+a_{n+1}\sum _{k=1}^n{b}_k-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j+(a_n-a_{n+1})\sum _{k=1}^n{b}_k\\ & \stackrel{2.}{=}{a}_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}{b}_k-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j+(a_n-a_{n+1})\sum _{k=1}^n{b}_k\\ & \stackrel{3.}{=}{a}_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}{b}_k-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j-(a_{n+1}-a_n)\sum _{k=1}^n{b}_k\\ & \stackrel{4.}{=}{a}_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}{b}_k-\sum _{k=1}^n(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j\\ \end{array}$

1. Herausheben von $\sum _{k=1}^n{b}_k$ aus den Termen $a_{n+1}\sum _{k=1}^n{b}_k$ und $a_n\sum _{k=1}^n{b}_k$ (erster und letzer Term)
2. Zusammenfassen von $a_{n+1}{b}_{n+1}+a_{n+1}\sum _{k=1}^n{b}_k$ zu $a_{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}{b}_k$
3. Umdrehen der Differenz: $+(a_n-a_{n+1})\to -(a_{n+1}-a_n)$
4. Zusammenfassen von $-\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j-(a_{n+1}-a_n)\sum _{k=1}^n{b}_k$ zu $-\sum _{k=1}^n(a_{k+1}-a_k)\sum _{j=1}^k{b}_j$

Die letzte Zeile der Umformungen entspricht der rechten Seite. Dadurch haben wir die Induktionsbehauptung gezeigt.