TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 229

Man bestimme die Lösung nachstehender Differenzengleichung zu den vorgegebenen Anfangsbedingungen:

$4x_{n+2}+12x_{n+1}-7x_n=36,x_0=6,x_1=3$

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Lösungsvorschlag

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Homogene Lösung

In unserem Fall lautet die zu lösende homogene Gleichung

$4x_{n+2}+12x_{n+1}-7x_n=0$

Setzt man den Ansatz $x_n^{(h)}={\lambda }^n$ in obige Gleichung ein, erhält man die charakteristische Gleichung

$4{\lambda }^{n+2}+12{\lambda }^{n+1}-7{\lambda }^n=0⟺4{\lambda }^2+12\lambda -7=0⟺{\lambda }^2+3\lambda -\frac{7}{4}=0$

Lösen dieser quadratischen Gleichung mittels kleiner Lösungsformel ergibt folgende Lösungen:

${\lambda }_1=\frac{1}{2},{\lambda }_2=-\frac{7}{2}$

Somit lautet die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung

$x_n^{(h)}=c_1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n+c_2\cdot {(-\frac{7}{2})}^n$

Partikuläre Lösung

Da die Störfunktion $s_n=36$ konstant ist, kann der Ansatz $x_n^{(p)}=A$ zur Bestimmung einer partikulären Lösung verwendet werden.

Einsetzten des Ansatzes in die Differenzengleichung ergibt

$4A+12A-7A=36⟹A=4$

Eine partikuläre Lösung ist somit $x_n^{(p)}=4$.

Allgemeine Lösung

Die Lösung der allgemeinen Differenzengleichung lautet

$x_{2}n=x_n^{(h)}+x_n^{(p)}=c_1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n+c_2\cdot {(-\frac{7}{2})}^n+4$

Anfangswerte einsetzen

Das Einsetzen der Anfangswerte $x_0=6$ und $x_1=3$ ergibt:

$x_0=6=c_1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^0+c_2\cdot {(-\frac{7}{2})}^0+4⟺6=c_1+c_2+4⟺c_1=2-c_2$

$x_1=3=c_1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^1+c_2\cdot {(-\frac{7}{2})}^1+4⟺3=c_1\cdot \frac{1}{2}-c_2\cdot \frac{7}{2}+4⟺c_1=-2+7c_2$

$⟹2-c_2=-2+7c_2⟹c_2=\frac{1}{2}⟹c_1=\frac{3}{2}$

Lösung

Die gesuchte Lösung ist somit

$x_n=\frac{3}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n+\frac{1}{2}\cdot {(-\frac{7}{2})}^n+4$