TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 332

Untersuchen Sie, ob $\pi$ eine Permutation festlegt und geben Sie gegebenenfalls den Graphen, die Zyklendarstellung, sowie die Zyklendarstellung ohne Klammern an:

$\pi (k)=4k+2\mod 10,0\leq k\leq 9$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösung

$k$	$4k+2\mod 10$
0	2
1	6
2	0
3	4
4	8
5	2
6	6
7	0
8	4
9	8

Wie man sieht ist $\pi$ keine Permutation, und somit sind die restlichen Aufgaben hinfällig.

Lösung mit alternativer Angabe

Die originale Angabe ergibt keine Permutation, allerdings ist der Verdacht naheliegend, dass es sich um einen Schreibfehler handelt. Ändert man die Angabe von

$\pi (k)=4k+2\mod 10,0\leq k\leq 9$

auf

$\pi (k)=3k+2\mod 10,0\leq k\leq 9$

ergibt sich ein ganz anderes Bild.

$\pi (k),k\in \{0,1,2,...,9\}$ ergibt:

$k$	$3k+2\mod 10$
0	2
1	5
2	8
3	1
4	4
5	7
6	0
7	3
8	6
9	9

Anders angeschrieben:

$\pi ={\begin{pmatrix}0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&5&8&1&4&7&0&3&6&9\end{pmatrix}}$

Bzw. in Zyklenschreibweise und in klammernloser Zyklenschreibweise (vergleiche Bsp 122):

$\pi =\left(0,2,8,6\right)\left(1,5,7,3\right)\left(4\right)\left(9\right)=\left(9\right)\left(4\right)\left(1,5,7,3\right)\left(0,2,8,6\right)=9,4,1,5,7,3,0,2,8,6$

mfg, --W wallner