TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 40

Man beweise ${\overline {z_{1}z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\cdot {\overline {z_{2}}}$ und ${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}$.

Dieses Beispiel ist als solved markiert. Ist dies falsch oder ungenau? Aktualisiere den Lösungsstatus (Details: Vorlage:Beispiel)

Lösungsvorschlag von Razvan

${\overline {z_{1}z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\cdot {\overline {z_{2}}}$

Man kann das entweder mit $(a+i\cdot b)\cdot (c+i\cdot d)$ lösen, oder mit Polarkoordinaten $[a;\alpha ]\cdot [b;\beta ]$.

Ich werde es hier mit Polarkoordinaten lösen:

${\overline {z_{1}}}=[a,\alpha ]$

${\overline {z_{2}}}=[b,\beta ]$

${\overline {[a;\alpha ]\cdot [b;\beta ]}}={\overline {[a\cdot b;\alpha +\beta ]}}=[a\cdot b;-\alpha -\beta ]$

${\overline {[a;\alpha ]}}\cdot {\overline {[b;\beta ]}}=[a;-\alpha ]\cdot [b;-\beta ]=[a\cdot b;-\alpha -\beta ]$

Wie wir hier sehen sind beide gleich.

${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}$

Zur Erinnerung:

$z_{1}-z_{2}=(a-c)+i\cdot (b-d)$

Hier werde ich die kartesischen Koordinaten verwenden.

$z_{1}=a+i\cdot b$

$z_{2}=c+i\cdot d$

Linke Hälfte:

${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {(a-c)+i\cdot (b-d)}}=(a-c)-i\cdot (b-d)$

Rechte Hälfte:

${\overline {z1}}-{\overline {z2}}=(a-i\cdot b)-(c-i\cdot d)=(a-c)+i\cdot (-b+d)=(a-c)-i\cdot (b-d)$

Wie wir sehen können, beides kommt auf das Gleiche hinaus.