TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 402

Von der Abbildung $f:{\left({\mathbb{Z}}_3\right)}^2\to {\left({\mathbb{Z}}_3\right)}^4$ sei bekannt, dass $f$ ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist (die jeweils komponentenweise definiert sein soll), sowie dass $f(1,0)=(1,0,0,2),f(1,1)=(1,2,0,1)$. Man ermittle daraus $f\left(w\right)$ für alle $w\in {\left({\mathbb{Z}}_3\right)}^2$

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Lösungsvorschlag

Da $f$ ein Homomorphismus ist gilt folgendes:

$f(x+y)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$

Beispiel:

$f(2,1)=f((1,0)+(1,1))=f(1,0)+f(1,1)=(1,0,0,2)+(1,2,0,1)=(2,2,0,0)$.

Durch die bereits bekannten Funktionswerte kann man also die anderen berechnen. $f\left(w\right)$ kann man z.B. wie folgt berechnen:

$f(0,0)=f((1,1)+(1,1)+(1,1))=f(1,1)+f(1,1)+f(1,1)=(1,2,0,1)+(1,2,0,1)+(1,2,0,1)=(0,0,0,0)$.

$f(0,1)=f((1,1)+(1,0)+(1,0))=f(1,1)+f(1,0)+f(1,0)=(1,2,0,1)+(1,0,0,2)+(1,0,0,2)=(0,2,0,2)$.

$f(0,2)=f((0,1)+(0,1))=f(0,1)+f(0,1)=(0,2,0,2)+(0,2,0,2)=(0,1,0,1)$.

$f(1,0)=(1,0,0,2)$

$f(1,1)=(1,2,0,1)$

$f(1,2)=f((0,1)+(1,1))=f(0,1)+f(1,1)=(0,2,0,2)+(1,2,0,1)=(1,1,0,0)$

$f(2,0)=f((1,0)+(1,0))=f(1,0)+f(1,0)=(1,0,0,2)+(1,0,0,2)=(2,0,0,1)$

$f(2,1)=f((1,0)+(1,1))=f(1,0)+f(1,1)=(1,0,0,2)+(1,2,0,1)=(2,2,0,0)$

$f(2,2)=f((1,1)+(1,1))=f(1,1)+f(1,1)=(1,2,0,1)+(1,2,0,1)=(2,1,0,2)$