TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 406

Sei $\Gamma _{16},*)$ die Gruppe aus Bsp. 398). Man bestimme die vom Element ${\overline {9}}$ erzeugte Untergruppe sowie deren Nebenklassen in $\Gamma _{16}$.

Lösungsvorschlag von neo

$\Gamma _{16}=\{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}},{\overline {9}},{\overline {11}},{\overline {13}},{\overline {15}}\}$
$U=\{{\overline {1}},{\overline {9}}\}$
$U$ ist assoziativ, da die Assoziativität in ganz $\Gamma _{16}$ gilt.

${\overline {1}}*{\overline {1}}={\overline {1}}$
${\overline {1}}*{\overline {9}}={\overline {9}}$
${\overline {9}}*{\overline {1}}={\overline {9}}$
${\overline {9}}*{\overline {9}}={\overline {1}}$
$\Rightarrow abgeschlossen$

${\overline {1}}*{\overline {1}}={\overline {1}}$
${\overline {1}}*{\overline {9}}={\overline {9}}$
$e={\overline {1}}\Rightarrow neutrales\,Element$

$({\overline {1}})^{-1}={\overline {1}}$
$({\overline {9}})^{-1}={\overline {9}}$
$\Rightarrow inverse\,Elemente\,existieren$

Damit ist bewiesen, dass $U$ eine Gruppe ist, welche von ${\overline {9}}$ erzeugt wurde.

${\overline {1}}\circ U={\overline {9}}\circ U=\{{\overline {1}},{\overline {9}}\}$
${\overline {3}}\circ U={\overline {11}}\circ U=\{{\overline {11}},{\overline {3}}\}$
${\overline {5}}\circ U={\overline {13}}\circ U=\{{\overline {13}},{\overline {5}}\}$
${\overline {7}}\circ U={\overline {15}}\circ U=\{{\overline {7}},{\overline {15}}\}$
$L=\{\{{\overline {1}},{\overline {9}}\},\{{\overline {3}},{\overline {11}}\},\{{\overline {5}},{\overline {13}}\},\{{\overline {7}},{\overline {15}}\}$

Da die Restklassenmultiplikation kommumativ ist, entspricht die Linksnebenklasse der Rechtsnebenklasse.
$U$ ist Normalteiler von $\Gamma _{16}\Leftrightarrow U\trianglelefteq \Gamma _{16}$