TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 406

Sei ${\Gamma }_{16},\ast )$ die Gruppe aus Bsp. 398). Man bestimme die vom Element $\bar{9}$ erzeugte Untergruppe sowie deren Nebenklassen in ${\Gamma }_{16}$.

Lösungsvorschlag von neo

${\Gamma }_{16}=\{\bar{1},\bar{3},\bar{5},\bar{7},\bar{9},\overline{11},\overline{13},\overline{15}\}$
$U=\{\bar{1},\bar{9}\}$
$U$ ist assoziativ, da die Assoziativität in ganz ${\Gamma }_{16}$ gilt.

$\bar{1}\ast \bar{1}=\bar{1}$
$\bar{1}\ast \bar{9}=\bar{9}$
$\bar{9}\ast \bar{1}=\bar{9}$
$\bar{9}\ast \bar{9}=\bar{1}$
$\Rightarrow abgeschlossen$

$\bar{1}\ast \bar{1}=\bar{1}$
$\bar{1}\ast \bar{9}=\bar{9}$
$e=\bar{1}\Rightarrow neutralesElement$

$(\bar{1}{)}^{-1}=\bar{1}$
$(\bar{9}{)}^{-1}=\bar{9}$
$\Rightarrow inverseElementeexistieren$

Damit ist bewiesen, dass $U$ eine Gruppe ist, welche von $\bar{9}$ erzeugt wurde.

$\bar{1}\circ U=\bar{9}\circ U=\{\bar{1},\bar{9}\}$
$\bar{3}\circ U=\overline{11}\circ U=\{\overline{11},\bar{3}\}$
$\bar{5}\circ U=\overline{13}\circ U=\{\overline{13},\bar{5}\}$
$\bar{7}\circ U=\overline{15}\circ U=\{\bar{7},\overline{15}\}$
$L=\{\{\bar{1},\bar{9}\},\{\bar{3},\overline{11}\},\{\bar{5},\overline{13}\},\{\bar{7},\overline{15}\}$

Da die Restklassenmultiplikation kommumativ ist, entspricht die Linksnebenklasse der Rechtsnebenklasse.
$U$ ist Normalteiler von ${\Gamma }_{16}\iff U⊴{\Gamma }_{16}$