TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 41

Man beweise $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$.

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Lösungsvorschlag von Aaaaaadm

Sei:

$\begin{array}{cc}{z}_1& =[a;\alpha ]\\ z_2& =[b;\beta ]\end{array}$

Dann können wir $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}$ als $\overline{\left(\frac{[a;\alpha ]}{[b;\beta ]}\right)}$ darstellen.

Durch die Divisionsregel der komplexen Zahlen in Polardarstellung$(\frac{[r_1;{\phi }_1]}{[r_2;{\phi }_2]}=[\frac{r_1}{r_2};{\phi }_1-{\phi }_2])$ können wir die zwei Zahlen dividieren und dann das konjugierte Ergebnis bilden:

$\overline{\left(\frac{(a;\alpha )}{(b;\beta )}\right)}=\overline{[\frac{a}{b};\alpha -\beta ]}=[\frac{a}{b};-\alpha +\beta ]$

Jetzt müssen wir noch zeigen, dass dies dasselbe wie $\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$ ist. Dafür dividieren wir die beiden konjugiert komplexen Zahlen. --~~~~

$\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}=\frac{[a;-\alpha ]}{[b;-\beta ]}=[\frac{a}{b};-\alpha +\beta ]$

qed.