TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 417

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind: $M=\mathbb {Q} [{\sqrt {14}}]$

Lösungsvorschlag von neo

$(M,+):$
$(a+{\sqrt {14}}b)+(c+{\sqrt {14}}d)=(a+c)+{\sqrt {14}}(b+d)\in \mathbb {Q} [{\sqrt {14}}]\to abgeschlossen$
Die Addition ist assoziativ und kommutativ, daher die Struktur ebenso.
Das neutrale Element bezüglich der Addition ist trivialerweise die 0.
Das inverse Element ist das additive Inverse (a -> -a, b -> -b).
$(M,+)\,abelsche\,Gruppe$

$(M,*):$
$(a+{\sqrt {14}}b)(c+{\sqrt {14}}d)=ac+6bd+{\sqrt {14}}(ad+bc)\to abgeschlossen$
Kommutativität und Assoziativität wird von der regulären Multiplikation geerbt.
Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist die 1 d.h$(1+{\sqrt {14}}*0)$.
Ebenso gibt es bezüglich der Multiplikation (in diesem Fall) keinen Nullteiler, da das Produkt einer Multiplikation nur $0$ ergibt, wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist (ausgenommen Modulorechnung bzw. andere mir nicht bekannte Ausnahmen :D).
Ebenso gilt das Distributivgesetzt, da es in der regulären Addition bzw. Multiplikation schon gilt.

$(a+{\sqrt {14}}b)(c+{\sqrt {14}}d)=1$
$a+{\sqrt {14}}b={\frac {1}{c+{\sqrt {14}}d}}={\frac {1}{c+{\sqrt {14}}d}}{\frac {c-{\sqrt {14}}d}{c-{\sqrt {14}}d}}={\frac {c-{\sqrt {14}}d}{c^{2}-14d^{2}}}={\frac {c}{c^{2}-14d^{2}}}-{\frac {d}{c^{2}-14d^{2}}}{\sqrt {14}}$
Dieser Ausdruck ist falsch, wenn der Nenner 0 ergibt.
$c^{2}-14d^{2}=0$
$c-{\sqrt {14}}d=0$
$c={\sqrt {14}}d\Rightarrow c\notin \mathbb {Q} ,d={\frac {c}{\sqrt {14}}}\Rightarrow d\notin \mathbb {Q}$
Der Nenner ist also nur 0, wenn zumindest einer der beiden Variablen $c,d\notin \mathbb {Q}$ ist. Das ist aber laut Angabe nicht möglich. Formal folgt:
$\forall c,d\in Q\Rightarrow c^{2}-14d^{2}\neq 0\Rightarrow (a+{\sqrt {14}}b)^{-1}={\frac {c}{c^{2}-14d^{2}}}-{\frac {d}{c^{2}-14d^{2}}}{\sqrt {14}}\Rightarrow inverse\,Elemente$
$(M,+,*)\Rightarrow Koerper$