TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 445

Ein Polynom heißt irreduzibel, wenn es nicht als Produkt zweier Polynome kleineren Grades darstellbar ist. Man untersuche das Polynom $x^{2}+x+1$ auf Irreduzibilität a) über $\mathbb {R}$, b) über $\mathbb {Z} _{5}$.

Hilfreiches

Irreduzibilitätskriterien über Körper:
Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel. Besitzt ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle, so hat es Grad 1.
Insbesondere hat jedes irreduzible Polynom über einem algebraisch abgeschlossenen Körper wie $\mathbb {C}$ Grad 1.
Jedes Polynom über $K$ vom Grad 2 oder vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in $K$ hat.
https://de.wikipedia.org/wiki/Irreduzibles_Polynom

Lösungsvorschlag von neo

$\mathbb {R}$ stellt einen Körper dar.

a) große Lösungsformel anwenden: $x^{2}+x+1=0\to x_{1}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\notin \mathbb {R} ,x_{2}={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}\notin \mathbb {R}$
$\Rightarrow$ Irreduzibel über $\mathbb {R}$

b) $\mathbb {Z} _{5}=\{{\overline {4}},{\overline {3}},{\overline {2}},{\overline {1}},{\overline {0}}\}$

$+$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$	${\overline {3}}$	${\overline {4}}$
${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$	${\overline {3}}$	${\overline {4}}$
${\overline {1}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$	${\overline {3}}$	${\overline {4}}$	${\overline {0}}$
${\overline {2}}$	${\overline {2}}$	${\overline {3}}$	${\overline {4}}$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$
${\overline {3}}$	${\overline {3}}$	${\overline {4}}$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$
${\overline {4}}$	${\overline {4}}$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$	${\overline {3}}$

$*$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$	${\overline {3}}$	${\overline {4}}$
${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$
${\overline {1}}$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$	${\overline {3}}$	${\overline {4}}$
${\overline {2}}$	${\overline {0}}$	${\overline {2}}$	${\overline {4}}$	${\overline {1}}$	${\overline {3}}$
${\overline {3}}$	${\overline {0}}$	${\overline {3}}$	${\overline {1}}$	${\overline {4}}$	${\overline {2}}$
${\overline {4}}$	${\overline {0}}$	${\overline {4}}$	${\overline {3}}$	${\overline {2}}$	${\overline {1}}$

Wieder für $x$ einsetzen und niedrigeres Polynom suchen (wir setzen x in die Gleichung oben ein um so herauszufinden ob die Gleichung in Z5 Nullstellen besitzt):

${\overline {0}}^{2}+{\overline {0}}+{\overline {1}}={\overline {1}}\,\,{\widehat {=}}\,\,({\overline {0}}+{\overline {0}}+{\overline {1}})*({\overline {1}})={\overline {1}}$
${\overline {1}}^{2}+{\overline {1}}+{\overline {1}}={\overline {3}}\,\,{\widehat {=}}\,\,({\overline {1}}+{\overline {1}}+{\overline {1}})*({\overline {1}})={\overline {3}}$
${\overline {2}}^{2}+{\overline {2}}+{\overline {1}}={\overline {2}}\,\,{\widehat {=}}\,\,({\overline {4}})*({\overline {3}})={\overline {2}}$
${\overline {3}}^{2}+{\overline {3}}+{\overline {1}}={\overline {3}}\,\,{\widehat {=}}\,\,({\overline {1}}+{\overline {1}}+{\overline {1}})*({\overline {1}})={\overline {3}}$
${\overline {4}}^{2}+{\overline {4}}+{\overline {1}}={\overline {1}}\,\,{\widehat {=}}\,\,({\overline {0}}+{\overline {0}}+{\overline {1}})*({\overline {1}})={\overline {1}}$
$\Rightarrow$ Irreduzibel über $\mathbb {Z} _{5}$ da es keine Nullstellen in $\mathbb {Z} _{5}$ besitzt