TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 453

Sei $(M,\land ,\lor )$ ein Verband mit 5 Elementen. Zeigen Sie, dass $(M,\land ,\lor )$ keine Boolesche Algebra ist. Hinweis: Betrachten Sie alle möglichen Hassediagramme der durch den Verband bestimmten Halbordnung.

Lösungsvorschlag von neo

Sei $|M|=5$ und $M=\{a,b,c,d,e\}$
Hassediagramm:

    a
  / | \
 b  c  d
  \ | /
    e

Außerdem gilt:
$a\geq b\Leftrightarrow a=a\land b=inf(a,b)$
$a\geq b\Leftrightarrow b=b\lor a=sup(a,b)$

Man kann aus dem Hassediagramm folgendes herauslesen:
$b\land (c\lor d)=b\land a=b$
$(b\land c)\lor (b\land d)=e\lor e=e$
$b\neq e\Rightarrow nicht\,distributiv$
Da der Verband nicht distributiv ist, kann er auch keine Boole'sche Algebra sein.