TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 5

Man beweise mittels vollständiger Induktion

$\sum \limits _{j=1}^{n}{1 \over {j(j+1)}}={n \over {n+1}}$, wobei $(n\geq 1)$

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{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Aufgabe

Induktionsanfang: $n=1$

Ergibt:

${\frac {1}{1(1+1)}}={\frac {1}{1+1}}$

${\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$

Induktionsvorraussetzung: Es muss gezeigt werden, dass gilt:

$\sum \limits _{j=1}^{n+1}{1 \over {j(j+1)}}={{n+1} \over {n+2}}$

(Alle n durch n+1 ersetzt)

Induktionsschluss: (Nachweis der Induktionsvorraussetzung)

Schritt 1

Das Summenzeichen sagt uns, dass wir von 1 bis n+1 addieren sollen. Das ist dasselbe als würden wir zuest 1 bis n addieren und dann noch n+1 dazu geben. Daraus folgt:

$\sum \limits _{j=1}^{n+1}{1 \over {j(j+1)}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{1 \over {j(j+1)}}+{\frac {1}{(n+1)((n+1)+1)}}$ (*)

Schritt 2

Aus der Angabe wissen wir (oder eher "vermuten wir"), dass

$\sum \limits _{j=1}^{n}{1 \over {j(j+1)}}={n \over {n+1}}$

Deswegen können wir (*) umwandeln zu:

${n \over {n+1}}+{\frac {1}{(n+1)((n+1)+1)}}$ (#)

Schritt 3

Ziel ist es, die Induktionsvoraussetzung zu beweisen. Deswegen müssen wir jetzt den Term (#), der der linken Seite der Induktionsvoraussetzung entspricht, solange umformen, bis er genauso aussieht wie die rechte Seite der Induktionsvoraussetzung.

Kurz gesagt, wir müssen (#) umformen, bis wir als Ergebnis bekommen: ${{n+1} \over {n+2}}$

${\frac {n}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}=$

$={\frac {n(n+2)}{(n+1)(n+2)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}=$

$={\frac {n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}}=$

$={\frac {n^{2}+2n+1}{(n+1)(n+2)}}=$

$={\frac {(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}}=$

$={\frac {n+1}{n+2}}$

Zur Erinnerung: dieses Ergebnis (über dieser Zeile) ist die linke Seite der Induktionsvoraussetzung umgeformt. Wir setzen nun wieder in die Induktionsvoraussetzung ein und erhalten dadurch:

$=>{\frac {n+1}{n+2}}={\frac {n+1}{n+2}}$

Q.e.d.