TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 528
Sei die lineare Abbildung mit . Bestimmen Sie Kern und sowie dim(Kern ). Verifizieren Sie die Beziehung und bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis.
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oder
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Allgemein gilt: Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist der Kern einer Abbildung die Menge der Elemente, die auf die 0 oder allgemeiner das neutrale Element abgebildet werden. Ist eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge der Kern von f.
Lösung von scatmike[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nach der Angabe würde also die lineare Abbildung aus R² folgendermaßen aussehen: (Beachte: der obere Teil bildet auf den unteren Teil mittels der Funktion f ab)
Da laut Angabe die Matrix f bezüglich der kanonischen Basis bestimmt werden soll formen wir den oberen Teil auf die Einheitsmatrix mittels Spalten Gauß um:
<italic>Im ersten Schritt multiplizieren wir die erste Spalte * 2 und subtrahieren diese von der zweiten Spalte. Im nächsten Schritt dividieren wir die zweite Spalte durch 3:
Jetzt haben wir die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis. Daraus können wir die Basis ablesen und den Kern(f) ausrechnen:
Kern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für den Kern folgendes Lineares Gleichungssystem lösen:
Das Ergebnis für den Kern sollte der Vektor sein. Dieser Vektor wird also auf , also das neutrale Element abgebildet.
Bild[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
(alles ohne Gewähr)
Die Basis von f kann man dann wie folgt in Parameterschreibweise schreiben:
Was fehlt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es fehlt noch wie man die Dimension Kern und den Rang der Abbildung bestimmen kann
Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wikipedia:
Beispiele:
- Ähnliche Beispiele: