TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 596

(a) Für welche $i\in {1,2,3}$ gibt es eine lineare Abbildung $f_{i}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ mit folgenden Eigenschaften?
• $f_{1}:(1,0)\to (2,1,0),(0,1)\to (1,2,3)$
• $f_{2}:(1,0)\to (2,1,0),(0,1)\to (1,2,3),(1,1)\to (2,2,2)$
• $f_{3}:(1,0)\to (2,1,0),(0,1)\to (1,2,3),(1,1)\to (3,3,3)$

(b) Wählen Sie als $f$ eine lineare Abbildung $f_{i}$ aus (a). Geben Sie die $f$ zugehörige Matrix $A$, die dazu transponierte Matrix $A^{T}$ sowie jene Matrix $B$ an, welche $g:=f\circ f^{T}$ entspricht, wenn $f^{T}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ die $A^{T}$ zugehörige lineare Abbildung ist.

(c) Bestimmen Sie die Determinante von $B$ aus Teil (b); wie ergibt sich daraus die Determinante von 2B?

(d) Besitzt $B$ einen Eigenvektor zum Eigenwert 0?

Lösungsvorschlag von neo

Zu a:
Die Angabe scheint für mich ein wenig konfus, ich denke damit ist gemeint, welche der 3 gegebenen Funktionen eine lineare Abbildung darstellt.
($f(a+b)=f(a)+f(b)$, $f(ka)=kf(a)$)
$f_{3}$ stellt eine lineare Abbildung dar.

Zu b:
$A={\begin{pmatrix}2&1\\1&2\\0&3\end{pmatrix}}$

$A^{T}={\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&3\\\end{pmatrix}}$

$(f\circ f^{T})(x)=f(f^{T}(x))=f(A^{T}x)=AA^{T}x=B={\begin{pmatrix}5&4&3\\4&5&6\\3&6&9\end{pmatrix}}$

Zu c:
$det(AB)=det(A)det(B)$
$det(B)=0$ (Regel von Sarrus S.138)
$det(2B)=2det(B)=2*0=0$

Zu d:
$Ax=\lambda x$
$Ax=0x\to x=0$
Per Definition ist der Nullvektor kein Eigenvektor!

(Zu d): Die Gleichung Ax = 0x bedeutet nicht, dass x der Nullvektor ist.