TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 63

Beweisen Sie die folgenden Behauptungen oder widerlegen Sie sie durch ein konkretes Gegenbeispiel:

a) Falls $ac\equiv bc\ mod\ m,\ c\not =0$ und $c|m$, dann gilt auch $a\equiv b\ mod\ m$.

b) Falls $a\equiv b\ mod\ m$, dann gilt auch $a^{2}\equiv b^{2}\ mod\ m$.

c) Falls $a^{2}\equiv b^{2}\ mod\ m$, dann gilt auch $a\equiv b\ mod\ m$.

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Lösungsvorschlag

a)

sei k = m/c

ac ≡ bc mod m

<=> ac - bc ≡ 0 mod m

<=> ac - bc ≡ 0 mod kc | : c

<=> a - b ≡ 0 mod k

<=> a - b ≡ 0 mod m/c

b)

a ≡ b mod m

<=> a - b ≡ 0 mod m

<=> (a - b)*(a + b) ≡ 0 mod m

<=> a² - b² ≡ 0 mod m

<=> a² ≡ b² mod m

c)

Gegenbeispiel:

Wenn a² ≡ b² mod m gilt, dann könnte auch a ≡ -b mod m gelten.