TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 9

Man beweise mittels vollständiger Induktion:

$\sum _{l=1}^n\frac{l}{3^l}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4\ast 3^n}$

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{{Beispiel|1=
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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Induktionsanfang: n = 1

Induktionsvoraussetzung: es muss gezeigt werden das gilt $\sum _{l=1}^{n+1}\frac{l}{3^l}=\frac{3}{4}-\frac{2(n+1)+3}{4\ast {\mathrm{3}}^{n+1}}$

Induktionsschluss: Zur rechten Seite wird $\frac{n+1}{{\mathrm{3}}^{n+1}}$ addiert.

Um die Nenner auf gleich zu bringen wird $\frac{2n+3}{4\ast 3^n}$ mit 3 multipliziert und $\frac{n+1}{{\mathrm{3}}^{n+1}}$ mit 4 multipliziert. Dann kommt heraus

$\frac{3}{4}-\frac{3(2n+3)-4(n+1)}{4\ast {\mathrm{3}}^{n+1}}$

Man darf dabei nicht vergessen das der Bruch subtrahiert wird und daher die Vorzeichen wechseln.

Danach die Klammern auflösen bis folgendes übrig bleibt:

$=\frac{3}{4}-\frac{6n+9-4n-4}{4\ast {\mathrm{3}}^{n+1}}$

$=\frac{3}{4}-\frac{2n+5}{4\ast {\mathrm{3}}^{n+1}}$

$=\frac{3}{4}-\frac{2(n+1)+3}{4\ast {\mathrm{3}}^{n+1}}$

q.e.d (quod erat demonstrandum)