TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 378

Es sei $U$ eine Untergruppe der Gruppe $G$. Man zeige, dass die Relation $a\sim b\iff a\circ U=b\circ U$ eine Äquivalenzrelation auf $G$ ist und dass die Äquivalenzklassen von $\sim$ die Linksnebenklassen von $U$ in $G$ sind.

Hilfreiches

Äquivalenzrelation:
Eine binäre Relation $R$ auf einer Menge $A$ heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:
1.Reflexivität:$\mathrm{\forall }a\in A:aRa$
2.Symmetrie:$\mathrm{\forall }a,b\in A:aRb\Rightarrow bRa$
3.Transitivität:$\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$

Äquivalenzklassen:
Sei $R$ eine Äquivalenzrelation auf $A$.Für alle $a\in A$ heißt die Menge $K(a)=\{b\in A\mid bRa\}$ die von $a$ erzeugte Äquivalenzklasse.

Lösungsvorschlag von neo

Wir müssen also zuerst zeigen, dass die Relation $a\sim b\iff a\circ U=b\circ U$ eine Äquivalenzrelation ist.
$a\sim a\iff a\circ U=a\circ U\to reflexiv$
(Die Menge $a\circ U$ ist ident zur Menge $a\circ U$, daher müssen sie in Relation stehen)

$a\sim b\Rightarrow b\sim a:a\circ U=b\circ U\Rightarrow b\circ U=a\circ U\to symmetrisch$
(Wenn die Mengen $a\circ U=b\circ U$ ident sind, folgt logischerweise auch, dass $b\circ U=a\circ U$ ident sein müssen)

$(a\sim b)\wedge (b\sim c)\Rightarrow a\sim c:(a\circ U=b\circ U)\wedge (b\circ U=c\circ U)\Rightarrow a\circ U=c\circ U\to transitiv$
(Wenn die Menge $a\circ U$ mit $b\circ U$ ident ist, muss sie auch mit $c\circ U$ ident sein)

Damit wäre bewiesen, dass $ab\iff a\circ U=b\circ U$ eine Äquivalenzrelation auf $G$ ist.
Nun müssen wir noch beweisen, dass die Äquivalenzklassen von $\sim$ die Linksnebenklassen von $U$ in $G$ sind.

Da alle Äquivalenzklassen disjunkt sind (d.h. eine Partition auf $G$ bilden), ergibt deren Vereinigung $G$. Formal aufgeschrieben bedeutet das: ${\cup }_{a\in G}K(a)=G$
Außerdem gilt, dass die Linksnebenklassen einer Untergruppe $U$ ebenso eine Zerlegung von $G$ darstellen. Daher müssen die Elemente der Linksnebenklassen ebenso disjunkt sein. Zusammen würden die Elemente, wie vorhin aufgeschrieben, $G$ ergeben. Nun muss man das alles noch mathematisch aufschreiben ($L{n}_a$ steht für Linksnebenklasse nach $a$).
${\cup }_{a\in G}K(a)=G\to \mathrm{\forall }a,b\in G:a\ne b\Rightarrow L{n}_a\cap L{n}_b=\mathrm{\varnothing }\Rightarrow {\cup }_{a\in G}L{n}_a=G$
Ich hoffe das reicht als Beweis aus. Anmerkung 2022: Der Beweis der disjunkten Äquivalenzklassen ist nicht aussreichend