TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 396

Man bestimme alle Untergruppen der $({\mathbb{Z}}_{19},+)$.

Hilfreiches

Satz von Lagrange:
Ist $(G,\circ )$ endliche Gruppe, so ist die Ordnung $|U|$ einer Untergruppe $U\le G$ stets Teiler der Gruppenordnung $|G|$, und es gilt $|G:U|=|G|/|U|$.

Triviale Untergruppe:
Jede Gruppe $G$ besitzt die Untergruppen $\{e\}\le G$ und $G\le G$.

Lösungsvorschlag von neo

Da $|{\mathbb{Z}}_{19}|=19$ eine Primzahl ist, besitzt sie nur die trivialen Untergruppen $U_1=\{e\}=\bar{0}$ und $U_2={\mathbb{Z}}_{19}$.