TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel E5

Man berechne das Kurvenintegral der skalarwertigen Funktion $f$ längs der Kurve $c$: $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$, $c(t)=(\cos t,\sin t)$, $0\le t\le \pi /2$.

Hilfreiches

Kurvenintegral

Kurvenintegral

Kurvenintegral einer Funktion $f:{ℝ}^n\to ℝ$ entlang einer Kurve $k:[a,b]\to {ℝ}^n$:

$\underset{K}{\int }fds={\int }_a^{b}f(k(t))\cdot ||k^{\prime }(t)||dt$

sin² als cos²

Sin² als cos²

${\sin }^2\phi =1-{\cos }^2\phi$

sin 2x

Sin 2x

Satz:

$\sin 2\phi =2\sin \phi \cos \phi$

Lösung von Baccus

$\underset{c}{\int }f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(c(t))\cdot ||c^{\prime }(t)||dt=$

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos t\sin t}{\underset{1}{\underbrace{{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t}}}\cdot \underset{1}{\underbrace{\sqrt{{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t}}}dt=$

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos t\sin tdt={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin 2t}{2}dt=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 2tdt=$

${\frac{1}{2}\cdot -\cos 2t\cdot \frac{1}{2}|}_0^{\frac{\pi }{2}}={\frac{1}{4}\cdot -\cos t|}_0^{\pi }=\frac{1}{4}(\underset{1+1}{\underbrace{-\cos \pi +\cos 0}})=\frac{1}{2}$

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