TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 131

Zeigen Sie, daß das Kurvenintegral ${\int }_C(\cos xdx+e^{-y}dy+z^{2}dz)$ wegunabhängig ist, und berechnen Sie es über einen Weg von (−1, 3, 4) nach (6, 9, −2).

Lösungsvorschlag

Integrabilitätsbedingungen prüfen:

$\frac{\partial f1}{\partial y}=\frac{\partial f2}{\partial x}=0$

$\frac{\partial f2}{\partial z}=\frac{\partial f3}{\partial y}=0$

$\frac{\partial f1}{\partial z}=\frac{\partial f3}{\partial x}=0$

Stammfunktion $F(x,y,z)$ bestimmen:

$f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}\cos x\\ {\mathrm{e}}^{-y}\\ z^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\\ F_z\end{array}\right)$

$F(x,y,z)=\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+c(y,z)$

$F_y={\mathrm{e}}^{-y}=c{}^{\prime }(y,z)$

$c(y,z)=\int {\mathrm{e}}^{-y}\mathrm{d}y=-{\mathrm{e}}^{-y}+c_1(z)$

$F(x,y,z)=\sin x-{\mathrm{e}}^{-y}+c_1(z)$

$F_z=z^2=c_1{}^{\prime }(z)$

$c_1(z)=\int z^2\mathrm{d}z=\frac{z^3}{3}+c_2$

$F(x,y,z)=\sin x-{\mathrm{e}}^{-y}+\frac{z^3}{3}+c_2$

Über den Weg von $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 4\end{array}\right)$ nach $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$ berechnen:

$F(b)-F(a)$

$\sin (6)-{\mathrm{e}}^{-9}+\frac{(-2{)}^3}{3}-(\sin (-1)-{\mathrm{e}}^{-3}+\frac{4^3}{3})=-23,3883$

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Wikipedia:

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