TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 131

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Zeigen Sie, daß das Kurvenintegral \int_C(\cos x\;dx+e^{-y}\;dy+z^2\;dz) wegunabhängig ist, und berechnen Sie es über einen Weg von (−1, 3, 4) nach (6, 9, −2).


Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Integrabilitätsbedingungen prüfen:

\frac {\partial f1} {\partial y} = \frac {\partial f2} {\partial x} = 0

\frac {\partial f2} {\partial z} = \frac {\partial f3} {\partial y} = 0

\frac {\partial f1} {\partial z} = \frac {\partial f3} {\partial x} = 0


Stammfunktion F\;(x, y, z) bestimmen:

f\;(x, y, z) = \begin{pmatrix} \cos x \\ \mathrm{e}^{-y} \\ z^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix}

F\;(x, y, z) = \int \cos x\;\mathrm{d} x = \sin x + c\;(y, z)

F_y = \mathrm{e}^{-y} = c\;^{\prime}(y, z)

c\;(y, z) = \int \mathrm{e}^{-y}\;\mathrm{d} y = - \mathrm{e}^{-y} + c_1\;(z)

F\;(x, y, z) = \sin x - \mathrm{e}^{-y} + c_1\;(z)

F_z = z^2 = c_1\;^{\prime}(z)

c_1\;(z) = \int z^2\;\mathrm{d} z = \frac {z^3} {3} + c_2

F\;(x, y, z) = \sin x - \mathrm{e}^{-y} + \frac {z^3} {3} + c_2


Über den Weg von \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} nach \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ -2 \end{pmatrix} berechnen:

F(b) - F(a)

\sin(6)-\mathrm{e}^{-9}+\frac{(-2)^3}{3}-(\sin(-1)-\mathrm{e}^{-3}+\frac{4^3}{3}) = -23,3883


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Ähnliche Beispiele:

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