TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 366

Bestimmen Sie einen Wert $a\in \mathbb {Z}$, sodaß die quadratische Form $x^{2}+axy+3xz+y^{2}-2yz+4z^{2}$ positiv definit ist

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{{Beispiel|1=
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösung korrigiert

Als ersten Schritt sollte man die Koeffizienten der Gleichung für den Aufbau der Matrix herausschälen. Die Hauptdiagonale ist ohnehin durch die Koeffizienten der Quadrate mit 1,1,4 bestimmt.

$1*x^{2}+2*({\frac {a}{2}}xy)+2*({\frac {3}{2}}xz)+1*y^{2}-2*(1yz)+4*z^{2}$

 Hauptdiagonale   Koeffizienten
   1  -  -        1   a/2   3/2    
   -  1  -       a/2   1    -1      det= 1*1*4 + a/2*-1*3/2 + 3/2*a/2*-1 - 3/2*3/2*1 -4*a²/4 -1*-1*-1
   -  -  4       3/2  -1     4         = 4 - 9/4 - 3a/2 -a² = 3/4 - 3a/2 -a²

Erste Hauptminore = 1. >0    ok
Zweite Hauptminore = 1 - a²/4 > 0 damit muß a im Intervall ]-2,2[ sein, damit die Bedingung erfüllt ist
Damit die det > 0 ist, muß a < 2 sein. (rechnet es selbst aus)  

Da nur eine Lösung gefragt ist und die Randwerte des Intervalls die Bedingung nicht erfüllen, gibt es nur 2 ganzzahlige Lösungsmöglichkeiten -1 und 0. 0 reicht daher als Lösung

Wurde bei Prof Urbanek so vorgerrechnet.

Hapi

Links

• Diskussion Informatik-Forum WS02 Beispiel 189 (alt)