TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 314

Man prüfe nach, ob nachstehende Funktionen homogen sind:

1. (a) $f(x,y,z)=x+(yz{)}^{1/2}$ (für $y,z>0$),
2. (b) $f(x,y)=x^2+y$,
3. (c) $f(x,y)=a{x}^b{y}^c$ (mit $a,b,c\in ℝ,x,y>0$).

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\begin{array}{cc}f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)& =\lambda x+(\lambda y\lambda z{)}^{1/2}\\ & =\lambda x+({\lambda }^{2}yz{)}^{1/2}\\ & =\lambda x+\lambda (yz{)}^{1/2}\\ & =\lambda (x+(yz{)}^{1/2})\\ & ={\lambda }^{1}f(x,y,z)\end{array}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $1$.

Beispiel (b)

$\begin{array}{cc}f(\lambda x,\lambda y)& =(\lambda x{)}^2+\lambda y\\ & =\lambda (\lambda x^2+y)\\ & =\lambda f(\sqrt{\lambda }x,y)\ne \lambda f(x,y)\end{array}$

Die Funktion ist nicht homogen.

Beispiel (c)

$\begin{array}{cc}f(\lambda x,\lambda y)& =a(\lambda x{)}^b(\lambda y{)}^c\\ & =a{\lambda }^b{x}^b{\lambda }^c{y}^c\\ & ={\lambda }^{b+c}a{x}^b{y}^c\\ & ={\lambda }^{b+c}f(x,y)\end{array}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $b+c$.