TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 376

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x,y)$ im angegebenen Bereich:

$f(x,y)=2x^{3}-5xy^{2}+3y$ für $x,y\in R$

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{{Beispiel|status=solved|1=
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Lösungshilfe

Graphische Auswertung(1)

Graphische Auswertung(2)

$f_{x}=6x^{2}-5y^{2}$

$f_{y}=3-10xy$

Nun setzt man beide Formeln gleich 0. Als erstes für x:

$6x^{2}-5y^{2}=0$

$6x^{2}=5y^{2}$

$x^{2}={\frac {5y^{2}}{6}}$ (das lösen wir jetzt nicht weiter auf, man sieht dann warum)

und dann für y:

$3-10xy=0$

$3=10xy$

${\frac {3}{10x}}=y$

Weiter geht't mit Einsetzen. Wir setzen nun das Ergebnis von y in die Formel von x ein:

$x^{2}={\frac {5({\frac {3}{10x}})^{2}}{6}}={\frac {5({\frac {9}{100x^{2}}})}{6}}={\frac {\frac {45}{100x^{2}}}{6}}={\frac {45}{600x^{2}}}$

Daraus folgt:

$x^{4}={\frac {45}{600}}={\frac {3}{40}}=>x=\pm {\sqrt[{4}]{\frac {3}{40}}}$

Das nun in die y-Formel eingesetzt ergibt:

$y={\frac {3}{10\pm {\sqrt[{4}]{\frac {3}{40}}}}}$

- Luki (Komplette Lösung folgt)

Links

• Diskussion im Informatik-Forum SS07 Beispiel 99
• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 124

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