TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 380

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x,y)$ im angegebenen Bereich:
$f(x,y)=\sin(x+y)+\sin x+\sin y$ für $0\leq x,y\leq \pi /2$

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Lösungsvorschlag von lumpi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Partielle Ableitungen

$f_{x}=\cos(x+y)+\cos x$

$f_{y}=\cos(x+y)+\cos y$

Mögliche Extrema/Sattelpunkte Zum Errechnen von möglichen Extrema, setzen wir $f_{x}$ und $f_{y}$ gleich 0.

$f_{x}=\cos(x+y)+\cos x=0$

$\cos(x+y)=-\cos x$

$f_{y}=\cos(x+y)+\cos y=0$

$\cos(x+y)=-\cos y$

$\rightarrow \cos x=\cos y\rightarrow x=y$

$\cos(2x)+\cos x=0$

$\cos(2x)$ ist ein Doppelwinkelsatz also $\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)$

das zweite was man wissen muss ist, dass $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$ , also $\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)$

$\cos(2x)+\cos x=0$

$\cos ^{2}(x)-(1-\cos ^{2}(x))+\cos x=0$

$2*\cos ^{2}(x)+\cos x-1=0$

große Lösungsformel einer quadratischen Gleichung.. (nicht auf Substitution $u=\cos x$ vergessen!)

Somit erhalte ich die Lösungen

$u_{1}=-1,\quad u_{2}=1/2$

und jetzt noch für die endgültige Lösung resubstituieren

$x_{1}=(\pi ),\quad x_{2}=(\pi )/3$

Nur $x_{2}$ liegt im angegebenen Bereich, das ist die gesuchte Stelle!

Partielle Ableitungen zweiter Ordnung Nun errechnen wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung für die Hessematrix:

$f_{xx}=-\sin(x+y)-\sin x=-\sin(2{\tfrac {\pi }{3}})-\sin({\tfrac {\pi }{3}})=-{\sqrt {3}}$

$f_{xy}=f_{yx}=-\sin(x+y)=-\sin(2{\tfrac {\pi }{3}})=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$

$f_{yy}=-\sin(x+y)-\sin y=-\sin(2{\tfrac {\pi }{3}})-\sin({\tfrac {\pi }{3}})=-{\sqrt {3}}$

Hessematrix

${\begin{aligned}H_{f}=&{\begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-{\sqrt {3}}&-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\end{vmatrix}}\\=&(-{\sqrt {3}})^{2}-(-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}})^{2}=3-{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {9}{4}}\end{aligned}}$