TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 176

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von $f(x) = (1 - x^2) \cos x$ an der Stelle $x_0 = 0$ durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Lösungsvorschlag

Nützlich für dieses Beispiel ist die Potenzreihenentwicklung von $\cos x$. Diese wird zunächst eingesetzt und die resultierende Reihe umgeformt.
$\begin{align} f(x) & = \cos x - \cos x x^2 \\ & = \sum_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{2n!} - \sum_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n} }{2n!} x^2 \\ & = \sum_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{2n!} + \sum_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^{n+1} \frac{x^{2n+2}}{2n!} \\ & = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{2n!} + \sum_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^{n+1} \frac{x^{2n+2}}{2n!} \end{align}$
Indexverschiebung mit $\tilde{n} = n -1$ im zweiten Term liefert dann
$\begin{align} f(x) & = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{2n!} + \sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)}^{n} \frac{x^{2n}}{(2n-2)!} \\ & = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {(-1)}^n \left(\frac{1}{2n!} + \frac{1}{(2n-2)!}\right) x^{2n} \end{align}$

Lösungsvorschlag von Ryus

Obige Lösung ist zwar korrekt, aber sie bildet nicht, wie eigentlich verlangt, das Produkt zweier Potenzreihen. Dementsprechend hier eine alternative Lösung:

Wir brauchen also zwei Potenzreihen, deren Produkt gleich $(1 - x^2) \cos x$ ist. Dementsprechend bietet es sich an, eine Potenzreihe für $(1 - x^2)$ und eine für $\cos x$ aufzustellen und diese dann mittels Cauchyprodukt zu multiplizieren.

Als nächsten stellen wir fest, dass $(1 - x^2)$ bereits eine Potenzreihe mit nur endlich vielen Gliedern != 0 ist.

Die Potenzreihe für den Cosinus lässt sich über die Taylorreihe sehr schnell bestimmen, siehe dazu Beispiel 152. Er lautet:

$\cos x = \sum_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Um diese beiden Potenzreihen nun zu multiplizieren, wenden wir das Cauchyprodukt an:

$(\sum_{n \geq 0} {a_n})(\sum_{n \geq 0} {b_n}) = \sum_{n \geq 0} (\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k})$

Sei nun $\sum_{n \geq 0} a_n = 1 - x^2$ und $\sum_{n \geq 0} b_n = \cos x = \sum_{n \geq 0} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Um das Cauchyprodukt dieser beiden Reihen zu bilden gehen wir nun wie folgt vor. Wir ziehen das erste Glied der äußeren Summe heraus und verkürzen die innere Summe.

$\sum_{n \geq 0} (\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}) = a_0 b_0 + \sum_{n \geq 1} (\sum_{k=0}^{1} a_k b_{n-k})$

Die innere Summe können wir statt bis n nur bis 1 gehen lassen, da ab dem Glied mit dem Index 2 $a_n = 0$ gilt.

Dies können wir nun einfacher anschreiben als:

$a_0 b_0 + \sum_{n \geq 1} (\sum_{k=0}^{1} a_k b_{n-k}) = a_0 b_0 + \sum_{n \geq 1} (a_0 b_n + a_1 b_{n-1})$

Da $a_0 = 1$ und $a_1 = -x^2$:

$a_0 b_0 + \sum_{n \geq 1} (a_0 b_n + a_1 b_{n-1}) = b_0 + \sum_{n \geq 1} ({b_n - x^2 b_{n-1}})$

Jetzt setzen wir $b_n$ ein.

$\frac{x^0}{0!} + \sum_{n \geq 1} \left({(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} - x^2 {(-1)}^{n-1} \frac{x^{2(n-1)}}{(2(n-1)!}\right) = 1 + \sum_{n \geq 1} \left({(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} - x^2 {(-1)}^{n-1} \frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}\right)$

Herausheben von $(-1)^n$:

$1 + \sum_{n \geq 1} \left({(-1)}^n \left(\frac{x^{2n}}{(2n)!} + x^2 \frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}\right)\right)$

Herausheben von $x^{2n}$

$1 + \sum_{n \geq 1} \left({(-1)}^n \left(\frac{1}{(2n)!} + x^2 \frac{x^{-2}}{(2n-2)!}\right) x^{2n}\right) = 1 + \sum_{n \geq 1} \left({(-1)}^n \left(\frac{1}{(2n)!} + \frac{1}{(2n-2)!}\right) x^{2n}\right)$

Um zu zeigen, dass es sich hierbei wirklich um eine Potenzreihe handelt, kann man sie auch wie folgt anschreiben:

$\sum_{n \geq 0} {c_n} x^n$

wobei

$c_n = \begin{cases} 1 & \quad \text{falls } n = 0\\ 0 & \quad \text{falls } n \text{ ungerade}\\ (-1)^\frac{n}{2} (\frac{1}{n!} + \frac{1}{(n-2)!}) & \quad \text{sonst}\\ \end{cases}$

--Ryus (Diskussion) 12:29, 14. Mai 2016 (CEST)