TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 176

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von $f(x)=(1-x^{2})\cos x$ an der Stelle $x_{0}=0$ durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Lösungsvorschlag

Nützlich für dieses Beispiel ist die Potenzreihenentwicklung von $\cos x$. Diese wird zunächst eingesetzt und die resultierende Reihe umgeformt.
${\begin{aligned}f(x)&=\cos x-\cos xx^{2}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n}}{2n!}}-\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n}}{2n!}}x^{2}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n}}{2n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{\frac {x^{2n+2}}{2n!}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n}}{2n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{\frac {x^{2n+2}}{2n!}}\end{aligned}}$
Indexverschiebung mit ${\tilde {n}}=n-1$ im zweiten Term liefert dann
${\begin{aligned}f(x)&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n}}{2n!}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n-2)!}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\left({\frac {1}{2n!}}+{\frac {1}{(2n-2)!}}\right)x^{2n}\end{aligned}}$

Lösungsvorschlag von Ryus

Obige Lösung ist zwar korrekt, aber sie bildet nicht, wie eigentlich verlangt, das Produkt zweier Potenzreihen. Dementsprechend hier eine alternative Lösung:

Wir brauchen also zwei Potenzreihen, deren Produkt gleich $(1-x^{2})\cos x$ ist. Dementsprechend bietet es sich an, eine Potenzreihe für $(1-x^{2})$ und eine für $\cos x$ aufzustellen und diese dann mittels Cauchyprodukt zu multiplizieren.

Als nächsten stellen wir fest, dass $(1-x^{2})$ bereits eine Potenzreihe mit nur endlich vielen Gliedern != 0 ist.

Die Potenzreihe für den Cosinus lässt sich über die Taylorreihe sehr schnell bestimmen, siehe dazu Beispiel 152. Er lautet:

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

Um diese beiden Potenzreihen nun zu multiplizieren, wenden wir das Cauchyprodukt an:

$(\sum _{n\geq 0}{a_{n}})(\sum _{n\geq 0}{b_{n}})=\sum _{n\geq 0}(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})$

Sei nun $\sum _{n\geq 0}a_{n}=1-x^{2}$ und $\sum _{n\geq 0}b_{n}=\cos x=\sum _{n\geq 0}{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

Um das Cauchyprodukt dieser beiden Reihen zu bilden gehen wir nun wie folgt vor. Wir ziehen das erste Glied der äußeren Summe heraus und verkürzen die innere Summe.

$\sum _{n\geq 0}(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})=a_{0}b_{0}+\sum _{n\geq 1}(\sum _{k=0}^{1}a_{k}b_{n-k})$

Die innere Summe können wir statt bis n nur bis 1 gehen lassen, da ab dem Glied mit dem Index 2 $a_{n}=0$ gilt.

Dies können wir nun einfacher anschreiben als:

$a_{0}b_{0}+\sum _{n\geq 1}(\sum _{k=0}^{1}a_{k}b_{n-k})=a_{0}b_{0}+\sum _{n\geq 1}(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1})$

Da $a_{0}=1$ und $a_{1}=-x^{2}$:

$a_{0}b_{0}+\sum _{n\geq 1}(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1})=b_{0}+\sum _{n\geq 1}({b_{n}-x^{2}b_{n-1}})$

Jetzt setzen wir $b_{n}$ ein.

${\frac {x^{0}}{0!}}+\sum _{n\geq 1}\left({(-1)}^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}-x^{2}{(-1)}^{n-1}{\frac {x^{2(n-1)}}{(2(n-1)!}}\right)=1+\sum _{n\geq 1}\left({(-1)}^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}-x^{2}{(-1)}^{n-1}{\frac {x^{2n-2}}{(2n-2)!}}\right)$

Herausheben von $(-1)^{n}$:

$1+\sum _{n\geq 1}\left({(-1)}^{n}\left({\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+x^{2}{\frac {x^{2n-2}}{(2n-2)!}}\right)\right)$

Herausheben von $x^{2n}$

$1+\sum _{n\geq 1}\left({(-1)}^{n}\left({\frac {1}{(2n)!}}+x^{2}{\frac {x^{-2}}{(2n-2)!}}\right)x^{2n}\right)=1+\sum _{n\geq 1}\left({(-1)}^{n}\left({\frac {1}{(2n)!}}+{\frac {1}{(2n-2)!}}\right)x^{2n}\right)$

Um zu zeigen, dass es sich hierbei wirklich um eine Potenzreihe handelt, kann man sie auch wie folgt anschreiben:

$\sum _{n\geq 0}{c_{n}}x^{n}$

wobei

$c_{n}={\begin{cases}1&\quad {\text{falls }}n=0\\0&\quad {\text{falls }}n{\text{ ungerade}}\\(-1)^{\frac {n}{2}}({\frac {1}{n!}}+{\frac {1}{(n-2)!}})&\quad {\text{sonst}}\\\end{cases}}$

--Ryus (Diskussion) 12:29, 14. Mai 2016 (CEST)