TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 176

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Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von an der Stelle durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Lösungsvorschlag[edit]

Nützlich für dieses Beispiel ist die Potenzreihenentwicklung von . Diese wird zunächst eingesetzt und die resultierende Reihe umgeformt.

Indexverschiebung mit im zweiten Term liefert dann

Lösungsvorschlag von Ryus[edit]

Obige Lösung ist zwar korrekt, aber sie bildet nicht, wie eigentlich verlangt, das Produkt zweier Potenzreihen. Dementsprechend hier eine alternative Lösung:

Wir brauchen also zwei Potenzreihen, deren Produkt gleich ist. Dementsprechend bietet es sich an, eine Potenzreihe für und eine für aufzustellen und diese dann mittels Cauchyprodukt zu multiplizieren.

Als nächsten stellen wir fest, dass bereits eine Potenzreihe mit nur endlich vielen Gliedern != 0 ist.

Die Potenzreihe für den Cosinus lässt sich über die Taylorreihe sehr schnell bestimmen, siehe dazu Beispiel 152. Er lautet:

Um diese beiden Potenzreihen nun zu multiplizieren, wenden wir das Cauchyprodukt an:

Sei nun und

Um das Cauchyprodukt dieser beiden Reihen zu bilden gehen wir nun wie folgt vor. Wir ziehen das erste Glied der äußeren Summe heraus und verkürzen die innere Summe.

Die innere Summe können wir statt bis n nur bis 1 gehen lassen, da ab dem Glied mit dem Index 2 gilt.

Dies können wir nun einfacher anschreiben als:

Da und :

Jetzt setzen wir ein.

Herausheben von :

Herausheben von

Um zu zeigen, dass es sich hierbei wirklich um eine Potenzreihe handelt, kann man sie auch wie folgt anschreiben:

wobei

--Ryus (Diskussion) 12:29, 14. Mai 2016 (CEST)