TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 244

Man berechne:

$\int \sin {x}\cdot (1+2\cdot \cos {x})^{4}\cdot dx$

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{{Beispiel|1=
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f{\bigl (}u(x){\bigr )}\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Lösung:

Substitution:

$u=1+2\cdot \cos {x}\Longrightarrow du=-2\sin x\;dx$

${\frac {du}{dx}}=1+2\cdot \cos {x}\Longleftrightarrow dx=-{\frac {du}{2\cdot \sin {x}}}$

Einsetzen und vereinfachen:

$\int \sin {x}\cdot (u)^{4}\cdot -{\frac {du}{2\cdot \sin {x}}}=\int (u)^{4}\cdot (-{\frac {du}{2}})$

Integrieren und Resubstituieren:

${\frac {(u)^{5}}{5}}\cdot -{\frac {1}{2}}+c={\frac {(1+2\cdot \cos {x})^{5}}{5}}\cdot (-{\frac {1}{2}})+c=-{\frac {(1+2\cdot \cos {x})^{5}}{10}}+c$

--Foxtur 03:14, 27. Mär 2007 (CEST)

Links:

• f.thread:53099
• http://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution