TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 346

Man berechne die Ableitung von $f(x,y)=x^2+4y^2$ im Punkt $P_0(3,2)$

1. (a) in Richtung der Koordinatenachsen,
2. (b) in Richtung von (−1, −1), sowie
3. (c) in Richtung von grad f.

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Hilfreiches

Gradient

Gradient

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f=\left(\begin{array}{c}{f}_{x_1}\\ ⋮\\ f_{x_n}\end{array}\right)$

Lösungsvorschlag

$f_x=2x$

$f_y=8y$

$\mathrm{grad}f(x,y)=\left(\begin{array}{c}2x\\ 8y\end{array}\right)$

$\mathrm{grad}f(x_0,y_0)=\left(\begin{array}{c}2\cdot 3\\ 8\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 16\end{array}\right)$

Beispiel (a)

X-Richtung: $\mathrm{grad}f\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 16\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=6\cdot 1+16\cdot 0=6$

Y-Richtung: $\mathrm{grad}f\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 16\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=6\cdot 0+16\cdot 1=16$

Beispiel (b)

Vektor auf Länge 1 normieren:

$\left|\left|\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right)\right|\right|=\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}\Rightarrow \mathrm{grad}f\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\mathrm{grad}f\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 16\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right)=\frac{-1\cdot 6-1\cdot 16}{\sqrt{2}}=\frac{-22}{\sqrt{2}}\approx -15.556$

Beispiel (c)

$\left|\left|\left(\begin{array}{c}6\\ 16\end{array}\right)\right|\right|=\sqrt{6^2+16^2}=\sqrt{292}$

$\mathrm{grad}f\cdot \frac{1}{\sqrt{292}}\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 16\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{292}}\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 16\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 16\end{array}\right)=\frac{6\cdot 6+16\cdot 16}{\sqrt{292}}=\frac{292}{\sqrt{292}}=\sqrt{292}\approx 17.088$

Links

• Lösung aus dem WS04 (PDF)
• Die_Richtungsableitung