TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 60

Man gebe zwei reelle Folgen $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} },\langle b_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ mit $\lim a_{n}=\lim b_{n}=+\infty$ an, die

$\lim {\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0$ und $\lim {\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}=+\infty$

erfüllen.

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}}

Lösungsvorschlag

$a_{n}=n^{2}$

$b_{n}=n^{3}$

Beweis

$lim_{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0$

denn wenn man

$a_{n}=n^{2},b_{n}=n^{3}$

einsetzt erhält man

$lim_{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=lim_{n\to \infty }{\frac {n^{2}}{n^{3}}}=lim_{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$.

Genauso bei der zweiten Bedingung:

$lim_{n\to \infty }{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}=lim_{n\to \infty }{\frac {n^{4}}{n^{3}}}=lim_{n\to \infty }n=\infty$.

- Luki (Beweis)