TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 77

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz: $\sum _{n\geq 0}{\frac {n+3}{7n^{2}-2n+1}}$

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Lösung von Tina

Schritt 1: Ist die Folge eine Nullfolge? (Notwendiges Kriterium für Konvergenz der Reihe)

$\sum _{n\geq 0}{\frac {n+3}{7n^{2}-2n+1}}\quad /:n^{2}$

${\frac {{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{n^{3}}}}{7-{\frac {2}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}}}\rightarrow {\frac {0+0}{7-0+0}}={\frac {0}{7}}=0\rightarrow$ Es handelt sich um eine Nullfolge.

Schritt 2: Es gibt nur positive Folgenglieder - Die Reihe ist also entweder absolut konvergent oder divergent.

Schritt 3: Annahme: divergent wegen Ähnlichkeit zu ${\frac {1}{n}}$

Schritt 4: Z.B. ${\frac {1}{7n}}$ als divergent Minorante annehmen und beweisen.

${\frac {1}{7n}}\leq {\frac {n+3}{7n^{2}-2n+1}}$

Die Reihe ist divergent (folgt aus Schritt 2.)