TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 113

Mit Hilfe der Rechenregeln für die Exponentialfunktion $e^x$ beweise man für den natürlichen Logarithmus $\ln (x)$ folgende Eigenschaften:

• $\ln (xy)=\ln (x)+\ln (y)$
• $\ln \left(x^y\right)=y\ln (x)$

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Lösungsvorschlag

Die einfachste Möglichkeit die Äquivalenz zu beweisen, ist mittels Äquivalenzumformungen:

$\ln (xy)=\ln (x)+\ln (y)$

$e^{\ln (xy)}=e^{\ln (x)+\ln (y)}$

$xy=e^{\ln (x)}{e}^{\ln (y)}$

$xy=xy$

Die zweite Gleichung:

$\ln (x^y)=y\ln (x)$

$e^{\ln (x^y)}=e^{y\ln (x)}$

$x^y=(e^{\ln (x)}{)}^y$

$x^y=x^y$