TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 114

Mit Hilfe der Rechenregeln für die Exponentialfunktion $e^x$ und den natürlichen Logarithmus $ln(x)$ beweise man für eine beliebige Basis a > 0 die Darstellung:

• $a^x=e^{x\ast ln(a)}$
• $lo{g}_a(x)=ln(x)/ln(a)$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von jino

Beispiel 1)
$a^x=e^{x\ast ln(a)}$
$a^x=e^{ln(a^x)}$ ... e^ln() löst sich auf
$a^x=a^x$


Beispiel 2)
$lo{g}_a(x)=\frac{ln(x)}{ln(a)}$

Einführung der Hilfsvariable L
$L:=lo{g}_a(x)\mathrm{....}x=a^L$
$lo{g}_a(x)=\frac{ln(a^L)}{ln(a)}$
$lo{g}_a(x)=\frac{L\ast ln(a)}{ln(a)}$
$lo{g}_a(x)=L$
$lo{g}_a(x)=lo{g}_a(x)$

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Anderer Beweis für zweite Gleichung

https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Basisumrechnung

--Slaybert (Diskussion) 19:58, 26. Apr. 2013 (CEST)