TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 131

Man untersuche, wo die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist und bestimme dort $f^{\prime }(x)$:

$f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4\cdot x+4}}{\sqrt{x^2-6\cdot x+3}}$

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Lösungsvorschlag von mnemetz

Laut Buch folgt aus Stetigkeit nicht automatisch Differenzierbarkeit. In der Angabe steht aber nicht Stetigkeit. // warum dann tdm stetigkeit analysieren? Du sagst doch nur, wo eine Stelle nicht differenzierbar ist. Heißt doch nicht, dass es alle anderen sind?!

Analysiere Stetigkeit

Umformung der Angabe:

$\frac{\sqrt{x^2-4\cdot x+4}}{\sqrt{x^2-6\cdot x+3}}=\frac{\sqrt{(x-2)\cdot (x-2)}}{\sqrt{(x-(\frac{1}{2}\cdot (6-\sqrt{24})))\cdot (x-(\frac{1}{2}\cdot (6+\sqrt{24})))}}$

Umformung des Nenners ergibt sich aus den Nullstellen der quadratischen Gleichung:

$x^2-6\cdot x+3=0$

Betrachte nun Zähler und Nenner:

• Zähler darf nicht negativ sein (wohl aber Null!)
  • "Nicht erlaubte" $x$: gar keine (alles kann man einsetzen)
• Nenner darf nicht negativ UND nicht Null sein
  • "Nicht erlaubte" $x$: $\frac{1}{2}\cdot (6-\sqrt{24})\le x\le \frac{1}{2}\cdot (6+\sqrt{24})$

Die Funktion ist also stetig für alle $x\in ℝ:x>\frac{1}{2}\cdot (6+\sqrt{24})\wedge x<\frac{1}{2}\cdot (6-\sqrt{24})$ oder auch schoener: $x\in ℝ:3-\sqrt{6}<x<3+\sqrt{6}$

Ableitung

Allgemein dargestellt:

$f(x)=\frac{A^{\frac{1}{2}}}{B^{\frac{1}{2}}}$

Allgemeine Ableitung:

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{A}{B}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{A^{\prime }\cdot B-B^{\prime }\cdot A}{B^2}$

Ergebnis

Hier nur kurz das Ergebnis, das auch jeder Taschenrechner (der differenzieren kann) ausspucken würde:

$\frac{-(x+3)}{(x^2-6x+3{)}^{3/2}}$

Der essenzielle Trick dabei ist, den Term im Zähler von Anfang an zu vereinfachen durch $(x-2)\ast (x-2)$, wodurch sich die Wurzel wegkürzt. Der Rest ist Quotientenregel, und Kettenregel, sowie ein bisschen umformen und kürzen. --W1n5t0n 21:31, 14. Okt. 2009 (CEST)

Frage: Wenn es jeder Taschenrechner ausspucken würde, warum dann das? WolframAlpha

Quelle

Panholzer Beispielsammlung WS05 / SS06 Beispiel 428

Links

• Diskussion Informatik Forum SS08 Beispiel 5