TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 232

Man berechne:

$\int {\frac {x^{3}+x^{2}+7}{x^{2}+5x+6}}\,dx$

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Lösungsvorschlag von Thomas

Systematische Anwendung der Partialbruchzerlegungsmethoden führt zum Ergebnis.

Als erstes sehen wir, dass grad P(x) > grad Q(x), d.h. wir müssen zuerst eine Polynomdivision P(x):Q(x) = S(x) + R(x)/Q(x) durchführen

$(x^{3}+x^{2}+7):(x^{2}+5x+6)=x-4+{\frac {14x+31}{x^{2}+5x+6}}$

soweit haben wir die Angabe also auf folgendes umgeformt:

$\int (x-4)\,\mathrm {d} x+\int {\frac {14x+31}{x^{2}+5x+6}}\,\mathrm {d} x$

x-4 lässt sich leicht integrieren, der Bruch rechts lässt sich mittels Partialbruchzerlegung bewältigen. Um eine geeignete Form zu erhalten müssen wir das Nennerpolynom zuerst faktorisieren, und erhalten dann die Form

$x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)\,$

${\frac {14x+31}{x^{2}+5x+6}}={\frac {A}{(x+2)}}+{\frac {B}{(x+3)}}$

nach lösen der Gleichung erhalten wir für A=3 und B=11

setzen wir nun alles zusammen erhalten wir

$\int (x-4)+\int {\frac {3}{(x+2)}}+\int {\frac {11}{(x+3)}}={\frac {x^{2}}{2}}-4x+3\cdot \ln |x+2|+11\cdot \ln |x+3|+C$

Zwischenschritte

Gleichungssystem Lösen

Nach Umformung und Sortierung der obigen Gleichung erhalten wir:

${\begin{aligned}14x+31&=A\cdot (x+3)+B\cdot (x+2)\\&=Ax+3A+Bx+2B\\&=(A+B)x+3A+2B\end{aligned}}$

nun haben wir hier bereits eine schöne Form für den Koeffizientenvergleich

$14x^{1}+31x^{0}=(A+B)x^{1}+(3A+2B)x^{0}\,$

daraus folgt ein lineares Gleichungssystem

${\begin{aligned}14&=A+B\\31&=3A+2B\end{aligned}}$

welches sich recht leicht lösen lässt

$\,A=14-B$

$\,31=3(14-B)+2B=42-1B\Rightarrow B=11$

$\,\Rightarrow A=14-11=3$