TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 246

Man berechne:

$\int (x^2+1)e^{-2x}dx$

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Hilfreiches

Partielle Integration

Partielle Integration

$\int udv=uv-\int vdu$ alias $\int u(x)v^{\prime }(x)=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)$

Lösung

Von

$\int (x^2+1)e^{-2x}dx$

kommt man durch zweifaches partielles Integrieren auf:

1. Integration

$(x^2+1)\ast \frac{e^{-2x}}{-2}-\int 2x\ast \frac{e^{-2x}}{-2}dx$

Im Integral die 2er weggkürzen und das -1 herausheben:

$(x^2+1)\ast \frac{e^{-2x}}{-2}+\int x\ast e^{-2x}dx$

2. Integration

$(x^2+1)\ast \frac{e^{-2x}}{-2}+x\ast \frac{e^{-2x}}{-2}-\int \frac{e^{-2x}}{-2}dx$

Jetzt kann das Integral vollständig gelöst werden. $1/-2$ wird wieder vor der Integration aus dem Integral herausgezogen.

$(x^2+1)\ast \frac{e^{-2x}}{-2}+x\ast \frac{e^{-2x}}{-2}+\frac{1}{2}\ast \frac{e^{-2x}}{-2}$

Vereinfachen

$\frac{e^{-2x}}{-2}\ast (x^2+x+\frac{3}{2})$