TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 252

Man berechne:

$\int \frac{dx}{\sin x}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Betrachten wir ein rechtwinkeliges Dreieck mit dem Winkel $\frac{x}{2}$, der Ankathete $1$ und der Gegenkathete $u$.

Dabei ergibt sich folgendes:

$\sin \frac{x}{2}=\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}$

$\cos \frac{x}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$

$\tan \frac{x}{2}=\frac{u}{1}$

Wir substituieren also $u=\tan \frac{x}{2}$.

(Anmerkung von koDiacc (da ich persönlich ewig gebraucht habe, um diesen Teil nachzuvollziehen: http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Gegenseitige_Darstellung dort wird erklärt wie man den sin anhand von tangens ausdrücken kann. da wir aber sin x/2 haben muss ich eben tan x auch durch tan x/2 aufschreiben. dieses tan x/2 ersetze ich dann durch u))

---

Das Additionstheorem für die Sinusfunktion besagt folgendes:

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha$

In unserem Fall:

$\sin x=\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}=2\cdot \frac{u}{1+u^2}$

Abgeleitet

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(\cos \frac{x}{2}{)}^2}=\frac{1}{2\cdot (\cos \frac{x}{2}{)}^2}$

$du=\frac{1}{2\cdot (\cos \frac{x}{2}{)}^2}\cdot dx$

$dx=2\cdot (cos\frac{x}{2}{)}^2\cdot du=2\cdot \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\cdot du=2\cdot \frac{1}{1+u^2}\cdot du$

(2. Anm. v. koDiacc: (tan x)' = 1/cos^2 x d.h. tan x/2 muss ich das x/2 substituieren und dann kettenregel somit steht dann 1/2 davor)

Nun können wir das Integral folgendermaßen anschreiben:

$\int \frac{1+u^2}{2\cdot u}\cdot 2\cdot \frac{1}{1+u^2}\cdot du=\int \frac{1}{u}\cdot du=\ln |u|+C$

Rücksubstituieren:

$\int \frac{dx}{\sin x}=\ln |\tan \frac{x}{2}|+C$

Quelle

SS07 Beispiel 51