TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 270

Untersuchen Sie folgendes uneigentliches Integral auf Konvergenz:

$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {|\cos {x}|}{x^{2}}}\,dx$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag von Me.Name

Dieses Integral ist nur an der Obergrenze($\infty$) uneigentlich, deshalb muss keine Aufteilung gemacht werden.

Weiters gilt: ${\frac {\cos {x}}{x^{2}}}\leq {\frac {1}{x^{2}}}$

${\frac {1}{x^{2}}}$ ist also unsere Majorante und wie wir aus den Folgen und Reihen schon kennen, wenn die Majorante konvergiert, konvergiert auch die Folge.

$\lim \limits _{B\to \infty }\int \limits _{1}^{B}{\frac {1}{x^{2}}}dx=\int \limits _{1}^{B}x^{-2}dx$

$\lim \limits _{B\to \infty }-{\frac {1}{x}}|_{1}^{B}=-{\frac {1}{B}}+{\frac {1}{1}}=-0+1=1$

=> ja das Integral ist konvergent (gegen 1)