TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 288

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgenden Reihen konvergieren:

$\sum _{n\geq 10}{\frac {1}{n\ln n\ln(\ln n)\ln(\ln(\ln n))^{5}}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Angabe

Lösungsvorschlag von Pieron

$\int _{10}^{\infty }{\frac {1}{x\ln x\ln(\ln x)\ln(\ln(\ln x))^{5}}}{dx}$

mehrfache Substitution:

ln(x) = u; du = dx/x; du*x = dx

$\int _{10}^{\infty }{\frac {1}{u\ln(u)\ln(\ln(u))^{5}}}{du}$

ln(u) = t; dt = du/u; dt*u = du

$\int _{10}^{\infty }{\frac {1}{t\ln(t)^{5}}}{dt}$

ln(t) = z; dz = dt/t; dz*t = dt

$\int _{10}^{\infty }{\frac {1}{z^{5}}}{dt}$

$\left.-{\frac {1}{4z^{4}}}\right|_{10}^{\infty }$

Rücksubstitution:

$\left.-{\frac {1}{4\ln(\ln(\ln x))^{4}}}\right|_{10}^{\infty }$

$\lim _{x\to \infty }-{\frac {1}{4\ln(\ln(\ln x))^{4}}}+{\frac {1}{4\ln(\ln(\ln 10))^{4}}}$

linker Teil:

$\lim _{x\to \infty }-{\frac {1}{4\ln(\ln(\ln x))^{4}}}=0$

rechter Teil:

${\frac {1}{4\ln(\ln(\ln 10))^{4}}}=230.460477...$

$\int _{10}^{\infty }{\frac {1}{x\ln x\ln(\ln x)\ln(\ln(\ln x))^{5}}}=0+230.460477...\Rightarrow$ Integral & Reihe sind konvergent.

Q.E.D.