TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 350

Man berechne das Taylorsche Näherungspolynom zweiter Ordnung der Funktion $f(x,y)=xye^{x+y}$ an der Stelle $(x_{0},y_{0})=(1,1)$

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Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Theoretische Grundlagen (etwas ausbaufähig)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus dem vorangegangen Kapitel ist einigen vielleicht noch das Taylorsche Polynom in einer Variablen bekannt: Vorlage:Taylor-Polynom

Jetzt haben wir es aber mit einer Funktion in zwei Variablen zu tun, was man für die obige Formel berücksichtigen muss. Wenn man die ganzen Ausführungen im Buch auf Seite 240 + 241 behirnt, sollte man für das Taylorsche Polynom zweiter Ordnung (n=2) für eine Funktion in zwei Variablen auf folgende Formel kommen (Anmerkung: 1/1! = 1, 1/2! = 1/2):

$f(x,y)=\underbrace {f(x_{0},y_{0})} _{k=0}+\underbrace {f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})} _{k=1}+\underbrace {\frac {f_{xx}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})^{2}+2f_{xy}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})(y-y_{0})+f_{yy}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})^{2}}{2}} _{k=2}$

Lösungsvorschlag von Matmö[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zuerst bilden wir mal alle Ableitungen, die wir brauchen:

$f_{x}(x,y)=ye^{x+y}+xye^{x+y}=ye^{x+y}(1+x)$
$f_{y}(x,y)=xe^{x+y}+xye^{x+y}=xe^{x+y}(1+y)$
$f_{xx}(x,y)=ye^{x+y}(2+x)$
$f_{xy}(x,y)=e^{x+y}(x+1)(y+1)$
$f_{yy}(x,y)=xe^{x+y}(2+y)$

Jetzt setzen wir alles zusammen:

$x_{0}y_{0}e^{x_{0}+y_{0}}+y_{0}e^{x_{0}+y_{0}}(1+x_{0})(x-x_{0})+x_{0}e^{x_{0}+y_{0}}(1+y_{0})(y-y_{0})+{\frac {y_{0}e^{x_{0}+y_{0}}(2+x_{0})(x-x_{0})^{2}+2e^{x_{0}+y_{0}}(x_{0}+1)(y_{0}+1)(x-x_{0})(y-y_{0})+x_{0}e^{x_{0}+y_{0}}(2+y_{0})(y-y_{0})^{2}}{2}}$

Und zum Schluss setzen wir $x_{0}=1$ und $y_{0}=1$

$e^{2}+e^{2}(2)(x-1)+e^{2}(2)(y-1)+{\frac {e^{2}(3)(x-1)^{2}+2e^{2}(2)(2)(x-1)(y-1)+e^{2}(3)(y-1)^{2}}{2}}=e^{2}+2e^{2}(x-1)+2e^{2}(y-1)+{\frac {3e^{2}(x-1)^{2}+8e^{2}(x-1)(y-1)+3e^{2}(y-1)^{2}}{2}}$

Anmerkung peter1058[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sollte so passen - habe es auch so :-)

Für alle die die 1. Ableitungen nicht ganz verstehen: Produktregel !!
das ${e^{x+y}}$ hängt ja auch von x bzw. y ab und muss daher berücksichtigt werden! Matmö hat nach der Produktregel noch jeweils das ${e^{irgendwas}}$ herausgehoben (für alle die sich wundern woher ${(1+x)}$ und ${(1+y)}$ kommen! Bei den anderen Ableitungen hat Matmö ebenfalls herausgehoben!
Danke für die Mühe!
lg peter1058