TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 37

Man untersuche die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_n$ sind für fast alle $n\in \mathbb{N}$ definiert.)

$a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

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Lösung(svorschlag)

von Tina

$a_n=\underset{a}{\underbrace{\sqrt{n+1}}}-\underset{b}{\underbrace{\sqrt{n}}}$

Binomische Formel: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)\to (a-b)=\frac{a^2-b^2}{a+b}$

Auf Angabe anwenden:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$

Anmerkung von auron676

Wem die obige Herleitung zu unheimlich erscheint, als dass es so wirkt, als wäre man selbst draufgekommen:

Man kommt auch dadurch auf die richtige Lösung, indem man einfach mit $\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ multipliziert und dann ein bisschen umformt, wodurch man letztlich auf dasselbe Ergebnis kommt.

siehe auch: http://www.youtube.com/watch?v=VIxFKI9xTHE