TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 404

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) $y^{″}-8y^{\prime }-20y=0$

(b) $y^{″}+8y^{\prime }+16y=0$

(c) $y^{″}-8y^{\prime }+25y=0$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von jakobk

Generell: Charakteristische Gleichung aufstellen, lösen und dann anhand von ${\lambda }_1$ und ${\lambda }_2$ den richtigen Lösungsansatz wählen.

Beispiel (a)

$y^{″}-8y^{\prime }-20y=0$

=> Charakteristische Gleichung: ${\lambda }^2-8\lambda -20=0$

${\lambda }_{1,2}=4\pm \sqrt{4^2+20}$

${\lambda }_1=10,{\lambda }_2=-2$

=> 2 unterschiedliche reelle Lösungen => Ansatz $y(x)=C_1\ast e^{{\lambda }_{1}x}+C_2\ast e^{{\lambda }_{2}x}$

=> $y(x)=C_1\ast e^{10x}+C_2\ast e^{-2x}$ mit $C_1,C_2\in ℝ$

Beispiel (b)

$y^{″}+8y^{\prime }+16y=0$

=> Charakteristische Gleichung: ${\lambda }^2+8\lambda +16=0$

${\lambda }_{1,2}=-4\pm \sqrt{(-4{)}^2-16}$

${\lambda }_1={\lambda }_2=-4$

=> Eine reelle Doppellösung => Ansatz $y(x)=(C_1+C_{2}x)\ast e^{\lambda x}$

=> $y(x)=(C_1+C_{2}x)\ast e^{-4x}$ mit $C_1,C_2\in ℝ$

Beispiel (c)

$y^{″}-8y^{\prime }+25y=0$

=> Charakteristische Gleichung: ${\lambda }^2-8\lambda +25=0$

${\lambda }_{1,2}=4\pm \sqrt{4^2-25}$

${\lambda }_{1,2}=4\pm 3i=\alpha \pm \beta i$

=> 2 konjugiert komplexe Lösungen => Ansatz $y(x)=e^{\alpha x}\ast (C_1\ast cos(\beta x)+C_2\ast sin(\beta x))$

=> $y(x)=e^{4x}\ast (C_1\ast cos(3x)+C_2\ast sin(3x))$ mit $C_1,C_2\in ℝ$

Quelle

Karigl Beispielsammlung SS04 Beispiel 43