TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 411

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

$y'+{\frac {y}{x}}-e^{x}=0\,$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst auf die Form $y'+a(x)y=s(x)\,$ bringen:

$y'+{\frac {y}{x}}=e^{x}\,$

Lösung der homogenen Gleichung

$y'+{\frac {y}{x}}=0\,$

$y'=-{\frac {y}{x}}\,$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {y}{x}}\,$

${\frac {dy}{y}}=-{\frac {1}{x}}dx\,$

$\int {\frac {dy}{y}}=-\int {\frac {1}{x}}dx\,$

$ln|y|=ln|{\frac {1}{x}}|\,$

edit: müsste auf der rechten seite nicht -ln(x) stehen?

edit #2: Es kann beides da stehen. -ln(x) == ln(1/x)

$y_{h}(x)={\frac {C}{x}}\,$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_{p}(x)={\frac {C(x)}{x}}\,$

Einsetzen:

${\frac {C'(x)}{x}}-{\frac {C(x)}{x^{2}}}+{\frac {C(x)}{x^{2}}}=e^{x}\,$

${\frac {C'(x)}{x}}=e^{x}\,$

$C'(x)=xe^{x}\,$

$C(x)=\int xe^{x}dx\,$

Partiell integrieren:

$C(x)=xe^{x}-\int e^{x}dx=xe^{x}-e^{x}=e^{x}(x-1)\,$

$y_{p}(x)={\frac {C(x)}{x}}={\frac {e^{x}(x-1)}{x}}\,$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_{h}(x)+y_{p}(x)={\frac {C}{x}}+{\frac {e^{x}(x-1)}{x}}\,$