TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 411

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

$y^{\prime }+\frac{y}{x}-e^x=0$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst auf die Form $y^{\prime }+a(x)y=s(x)$ bringen:

$y^{\prime }+\frac{y}{x}=e^x$

Lösung der homogenen Gleichung

$y^{\prime }+\frac{y}{x}=0$

$y^{\prime }=-\frac{y}{x}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$

$\frac{dy}{y}=-\frac{1}{x}dx$

$\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{1}{x}dx$

$ln|y|=ln|\frac{1}{x}|$

edit: müsste auf der rechten seite nicht -ln(x) stehen?

edit #2: Es kann beides da stehen. -ln(x) == ln(1/x)

$y_h(x)=\frac{C}{x}$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_p(x)=\frac{C(x)}{x}$

Einsetzen:

$\frac{C^{\prime }(x)}{x}-\frac{C(x)}{x^2}+\frac{C(x)}{x^2}=e^x$

$\frac{C^{\prime }(x)}{x}=e^x$

$C^{\prime }(x)=x{e}^x$

$C(x)=\int x{e}^{x}dx$

Partiell integrieren:

$C(x)=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x=e^x(x-1)$

$y_p(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{e^x(x-1)}{x}$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_h(x)+y_p(x)=\frac{C}{x}+\frac{e^x(x-1)}{x}$