TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 413

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

$y'+ycot(x)=5e^{cos(x)},y({\frac {\pi }{2}})=-4\,$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst auf die Form $y'+a(x)y=s(x)\,$ bringen:

$y'+cot(x)y=5e^{cos(x)}\,$

Nebenrechnung: (Substitution: $t=sin(x)=>dt=cos(x)dx=>dx={\frac {dt}{cos(x)}}\,$)

$\int cot(x)dx=\int {\frac {cos(x)}{sin(x)}}dx=\int {\frac {cos(x)dt}{tcos(x)}}=\int {\frac {1}{t}}dt=ln|t|=ln|sin(x)|\,$

Lösung der homogenen Gleichung

$y'+cot(x)y=0\,$

$y'=-cot(x)y\,$

$\int {\frac {dy}{y}}=-\int cot(x)dx\,$

$ln|y|=-ln|sin(x)|\,$

$y_{h}(x)={\frac {C}{sin(x)}}\,$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_{p}(x)={\frac {C(x)}{sin(x)}}\,$

Einsetzen: (Hinweis:${\frac {cos(x)}{sin(x)}}=cot(x)\,$)

${\frac {C'(x)}{sin(x)}}-{\frac {C(x)}{sin^{2}(x)}}cos(x)+{\frac {C(x)}{sin^{2}(x)}}cos(x)=5e^{cos(x)}\,$

${\frac {C'(x)}{sin(x)}}=5e^{cos(x)}\,$

$C'(x)=sin(x)5e^{cos(x)}\,$

$C(x)=5\int sin(x)e^{cos(x)}dx\,$

Substitution:

$t=cos(x)\,$

$dt=-sin(x)dx\,$

$dx=-{\frac {dt}{sin(x)}}\,$

$C(x)=5\int sin(x)e^{cos(x)}dx=-5\int sin(x)e^{t}{\frac {dt}{sin(x)}}=-5\int e^{t}dt=-5e^{t}=-5e^{cos(x)}\,$

$y_{p}(x)={\frac {C(x)}{sin(x)}}={\frac {-5e^{cos(x)}}{sin(x)}}\,$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_{h}(x)+y_{p}(x)={\frac {C}{sin(x)}}+{\frac {5e^{cos(x)}}{sin(x)}}\,$

[Anmerkung von Krakki]: Gehört hier nicht ein Minus statt dem Plus hin?

$y({\frac {\pi }{2}})=-4\,$

Einsetzen:

$-4={\frac {C}{sin({\frac {\pi }{2}})}}+{\frac {5e^{cos({\frac {\pi }{2}})}}{sin({\frac {\pi }{2}})}}\,$

Dann erhält man:

$C=1\,$

Die spezifische Lösung lautet also:

$y={\frac {1}{sin(x)}}+{\frac {5e^{cos(x)}}{sin(x)}}\,$