TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 413

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

$y^{\prime }+ycot(x)=5e^{cos(x)},y(\frac{\pi }{2})=-4$

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Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst auf die Form $y^{\prime }+a(x)y=s(x)$ bringen:

$y^{\prime }+cot(x)y=5e^{cos(x)}$

Nebenrechnung: (Substitution: $t=sin(x)=>dt=cos(x)dx=>dx=\frac{dt}{cos(x)}$)

$\int cot(x)dx=\int \frac{cos(x)}{sin(x)}dx=\int \frac{cos(x)dt}{tcos(x)}=\int \frac{1}{t}dt=ln|t|=ln|sin(x)|$

Lösung der homogenen Gleichung

$y^{\prime }+cot(x)y=0$

$y^{\prime }=-cot(x)y$

$\int \frac{dy}{y}=-\int cot(x)dx$

$ln|y|=-ln|sin(x)|$

$y_h(x)=\frac{C}{sin(x)}$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_p(x)=\frac{C(x)}{sin(x)}$

Einsetzen: (Hinweis:$\frac{cos(x)}{sin(x)}=cot(x)$)

$\frac{C^{\prime }(x)}{sin(x)}-\frac{C(x)}{si{n}^2(x)}cos(x)+\frac{C(x)}{si{n}^2(x)}cos(x)=5e^{cos(x)}$

$\frac{C^{\prime }(x)}{sin(x)}=5e^{cos(x)}$

$C^{\prime }(x)=sin(x)5e^{cos(x)}$

$C(x)=5\int sin(x)e^{cos(x)}dx$

Substitution:

$t=cos(x)$

$dt=-sin(x)dx$

$dx=-\frac{dt}{sin(x)}$

$C(x)=5\int sin(x)e^{cos(x)}dx=-5\int sin(x)e^t\frac{dt}{sin(x)}=-5\int e^{t}dt=-5e^t=-5e^{cos(x)}$

$y_p(x)=\frac{C(x)}{sin(x)}=\frac{-5e^{cos(x)}}{sin(x)}$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_h(x)+y_p(x)=\frac{C}{sin(x)}+\frac{5e^{cos(x)}}{sin(x)}$

[Anmerkung von Krakki]: Gehört hier nicht ein Minus statt dem Plus hin?

$y(\frac{\pi }{2})=-4$

Einsetzen:

$-4=\frac{C}{sin(\frac{\pi }{2})}+\frac{5e^{cos(\frac{\pi }{2})}}{sin(\frac{\pi }{2})}$

Dann erhält man:

$C=1$

Die spezifische Lösung lautet also:

$y=\frac{1}{sin(x)}+\frac{5e^{cos(x)}}{sin(x)}$