TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 415

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

$x{y}^{\prime }=y+x^{2}cos(x)$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Zuerst auf die Form $y^{\prime }+a(x)y=s(x)$ bringen:

$x{y}^{\prime }-y=x^{2}cos(x)$

$y^{\prime }-\frac{y}{x}=xcos(x)$

Lösung der homogenen Gleichung

$\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=0$

$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$

$\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}$

$y_h(x)=Cx$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_p(x)=C(x)x$

Einsetzen:

$C^{\prime }(x)x+C(x)-\frac{C(x)x}{x}=xcos(x)$

$C^{\prime }(x)x=xcos(x)$

$C^{\prime }(x)=cos(x)$

$C(x)=\int cos(x)dx=sin(x)$

$y_p(x)=xsin(x)$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_h(x)+y_p(x)=Cx+xsin(x)$