TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 424

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

$y^{″}-y^{\prime }+y=x$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Lösung der homogenen Gleichung

$y^{″}-y^{\prime }+y=0$

${\lambda }^2-\lambda +1=0$

${\lambda }_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$y_h(x)=e^{\frac{x}{2}}(C_{1}cos(\frac{\sqrt{3}}{2}x)+C_{2}sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x))$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$s(x)=x$

$y_p(x)=A_0+A_{1}x$

${y_p}^{\prime }(x)=A_1$

${y_p}^{″}(x)=0$

Einsetzen:

$-A_1+A_0+A_{1}x=x$

$A_0=A_1=1$

$y_p(x)=1+x$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_h(x)+y_p(x)=e^{\frac{x}{2}}(C_{1}cos(\frac{\sqrt{3}}{2}x)+C_{2}sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x))+1+x$