TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 45

Man untersuche die Folge ${⟨a_n⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

$a_n=\sqrt[n^2]{n^5+1}$

Hinweis: Man verwende den als bekannt vorausgesetzten Grenzwert $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=1$.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}{a}_n=& \sqrt[n^2]{n^5+1}\\ =& \sqrt[n^2]{n^5\cdot (1+\frac{1}{n^5})}\\ =& \underset{\downarrow }{\sqrt[n^2]{n^5}}\cdot \sqrt[n^2]{1+\frac{1}{n^5}}\\ & \begin{array}{c}\sqrt[n^2]{n^5}=n^{\frac{5}{n^2}}={\left(n^{\frac{1}{n}}\right)}^{\frac{5}{n}}={\left(\sqrt[n]{n}\right)}^{\frac{5}{n}}\end{array}\\ =& \stackrel{\downarrow }{{\left(\sqrt[n]{n}\right)}^{\frac{5}{n}}}\cdot \sqrt[n^2]{1+\frac{1}{n^5}}\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\left(\sqrt[n]{n}\right)}^{\frac{5}{n}}\cdot \sqrt[n^2]{1+\frac{1}{n^5}})\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\sqrt[n]{n}\right)}^{\frac{5}{n}}\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n^2]{1+\frac{1}{n^5}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{1}^{\frac{5}{n}}\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n^2]{1}\\ & =1\cdot 1\\ & =1\end{array}$