TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 50

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Man untersuche die Folge auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen mit finde.

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Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sandwich-Theorem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Buch: Satz 4.22 (Seite 146) Im Grunde steht da nur das von der Angabe. Vielleicht findet man Hinweise zur Anwendung wenn man's googelt (auch Einschließungssatz, Einschnürungssatz, oder engl. Squeeze-Theorem)

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bringen wir das mal in eine Summenformel:

Damit sollte die Folge der Angabe rauskommen.

Wir überlegen uns jetzt 2 Folgen, die zu unserer zwar unterschiedlich sind aber gegen den selben Grenzwert streben. Eine Folge die kleiner ist (), eine die größer ist (). Wenn die beiden gegen den selben Grenzwert streben und unsere genau dazwischen liegen soll, haben wir den Grenzwert bewiesen.

Uns stört vor allem, dass das n innerhalb der Summenformel vorkommt. Wir wollen eine offensichtlich kleinere (und eine zweite, größere Folge) bei der n nämlich unendlich ist. Also versuchen wir eine kleinere/größere Formel zu finden bei der man das n weglassen/herausheben kann.

Wir wissen laut Buch 4.38 dass

Bemerkung: Das sollte glaub ich sein:

Wäre schön wenn wir das mit einer deutlich kleineren als unserer Folge auch machen könnte. Und k ist immer kleiner n. Also formen wir um:

Anm.[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kann wohl nicht stimmen, hier sollte b_n <= a_n sein, und nicht umgekehrt!


Und für was größeres:

Wir sehen, beide Folgen haben den Grenzwert 1 also hat ebenfalls den Grenzwert 1!

Und noch ein paar Werte, die es bestätigen:

a_1 = 2,00000

a_2 = 1,79192

a_3 = 1,55581

a_4 = 1,41631

a_5 = 1,32991

a_6 = 1,27225

a_7 = 1,23136

a_8 = 1,20097

a_9 = 1,17754

a_10 = 1,15895

.

.

.

a_1000 = 1,00150


Meine Berechnung dazu:

a_1 = 1

a_2 = 1,16

a_3 = 1,14

a_4 = 1,11

...

Aber auch mit stimmt nicht, da z.B.:

a_1 = 1

a_2 = 1,16

a_3 = 1,14

und

b_1 = 1/2

b_2 = 4/6

b_3 = 9/12

--78.104.123.6 19:42, 26. Dez. 2011 (CET)

Forum-Posts zu Sandwich-Theorem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

https://web.archive.org/web/20180817161535/https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php%3ftopic=66446

https://web.archive.org/web/20180817161538/https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php%3ftopic=92762

https://web.archive.org/web/20180817161544/https://www.matheraum.de/read?t=332410

Bemerkung !!!

1/n --> 0 nicht --> 1 !

Anmerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn mich nicht alles täuscht, hast du als cn die harmonische Reihe genommen und die ist doch divergent. Sie konvertiert also mitnichten gegen 1. --Neverlasting

@Neverlasting: Nein, es ist nicht die harmonische Reihe. Da 'n' hier NICHT unsere Laufvariable (sondern 'k') ist. Unsere 'Folge' sieht wie folgt aus:
z.B. für n=3: 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1