TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 54

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge

$a_n=\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots +\frac{n}{n^2},n\ge 1$,

für $n\to \mathrm{\infty }$.

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Hilfreiches

Gaußsche Summenformel

Gaußsche Summenformel

$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dots +n=\frac{n\cdot (n+1)}{2}$

Wikipedia

Lösungsweg

✅ Bestätigt von Clemens Müllner (SS19)

Die Folge kann vereinfacht werden, indem man alles auf einen Bruch schreibt. Mit Hilfe der Gauß'schen Summenformel $\frac{n\cdot (n+1)}{2}$ bekommen wir dann eine schöne Formel:

$a_n=\frac{1+2+\mathrm{...}+n}{n^2}=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n^2+n}{2n^2}=\frac{n^2(1+\frac{1}{n})}{2n^2}=\frac{1+\frac{1}{n}}{2}$

Zuletzt einfach den Grenzwert ansehen ($\frac{1}{n}\to 0$)

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1}{2}$

Fertig
--DeepThought (Diskussion) 07:41, 29. Jun. 2013 (CEST)